制動放射

素粒子物理学では、制動放射 / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / [ ^1] (ドイツ語の発音: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] ^ⓘ制動放射線（せいどうひゃくしょう、ドイツ語の bremsen 「ブレーキ」とStrahlung 「放射線」に由来）は、荷電粒子がと原子核によって偏向されて減速されることによって生成さ放射線。運動する粒子は運動エネルギーを、それが放射線（つまり光子）に変換されるため、エネルギー保存の法則が。この用語は、放射線を生成するプロセスを指すためにも使用されます。制動放射線は連続スペクトルを持ち、減速粒子のエネルギー変化が大きくなるにつれて強度が増し、ピーク強度が高周波数へとシフトします。

広く言えば、制動放射線とは、荷電粒子の加速（正または負）によって生成されるあらゆる放射線であり、これにはシンクロトロン放射線（相対論的粒子による光子放出）、サイクロトロン放射線（非相対論的粒子による光子放出）、およびベータ崩壊中の電子と陽電子の放出が含まれます。ただし、この用語は、物質内で減速する電子（発生源は問わない）からの放射線というより狭い意味でよく使用されます。

プラズマから放出される制動放射線は、自由-自由放射線と呼ばれることもあります。これは、この場合の放射線が、光子の放出前は自由（つまり、原子または分子の束縛状態ではない）であり、放出後も自由のままである電子によって生成されるという事実を指します。同じ用語で、束縛-束縛放射線は離散スペクトル線（電子が 2 つの束縛状態の間を「ジャンプ」する）を指し、自由-束縛放射線は自由電子がイオンと 再結合する放射結合プロセスを指します。

この記事では、スケールされた単一粒子電荷とともに SI 単位を使用します。 ${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$

量子効果が無視できる場合、加速する荷電粒子は、ラーモアの公式とその相対論的一般化によって説明されるとおりにエネルギーを放射します。

放射される全電力は^[2] で、（粒子の速度を光速で割った値）、はローレンツ因子、は真空の誘電率、はの時間微分、qは粒子の電荷である。速度が加速度に平行な場合（すなわち直線運動）には、式は^[3]に簡約され 、は加速度である。例えばシンクロトロンにおける速度（）に垂直な加速度の場合、全電力は $${\displaystyle P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),}$$${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ $${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},}$$${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$$${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}$$

2 つの極限ケースで放射される電力は、またはに比例します。 なので、同じエネルギーを持つ粒子の場合、放射される電力の合計はまたはになることがわかります。これは、電子が制動放射線によってより重い荷電粒子 (ミューオン、陽子、アルファ粒子など) よりもはるかに急速にエネルギーを失う理由を説明しています。これが、TeV エネルギーの電子陽電子衝突型加速器 (提案されている国際リニアコライダーなど) が円形トンネルを使用できない (一定の加速が必要) 一方、陽子陽子衝突型加速器 (大型ハドロン衝突型加速器など) が円形トンネルを利用できる理由です。電子は、陽子よりも 倍高い速度で制動放射線によってエネルギーを失います。 ${\displaystyle \gamma ^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m^{-4}}$${\displaystyle m^{-6}}$${\displaystyle (m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}}$

角度の関数としての放射電力の最も一般的な式は^[4] である： ここで、は粒子から観測者に向かう単位ベクトルであり、は無限小の立体角である。 $${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle d\Omega }$

速度が加速度に平行な場合（例えば直線運動）、これは^[4] のように簡略化されます。 ここで、は観測方向と間の角度です。 $${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

制動放射の完全な量子力学的取り扱いは非常に複雑です。純粋なクーロンポテンシャルを使用した 1 つの電子、1 つのイオン、および 1 つの光子の相互作用の「真空の場合」には、おそらく1931 年にArnold Sommerfeldによって最初に発表された正確な解があります。 ^[5]この解析的解には複雑な数学が関係しており、Karzas と Latter などによるいくつかの数値計算が発表されています。^{[6] Weinberg [7]}や Pradler と Semmelrock による最近の研究など、他の近似式も提示されています。 ^[8]

このセクションでは、前のセクションの量子力学的類似例を示しますが、重要な物理を説明するためにいくつかの簡略化が加えられています。質量、電荷、初期速度の電子が、電荷と数密度の重イオンのガスのクーロン場で減速するという特殊なケースについて、非相対論的な扱いをします。放出される放射線は、周波数とエネルギーの光子です。放射率を求めます。これは、(光子速度空間の立体角 * 光子周波数) あたりの放射電力を両方の横方向光子偏光にわたって合計したものです。これを、量子補正やその他の補正を考慮した 自由−自由放射ゴーント係数g _{ff の}近似古典的結果に掛けたものとして表します。の場合、つまり、電子は光子を放出するのに十分な運動エネルギーを持っていません。 の一般的な量子力学的式は存在しますが、非常に複雑で、通常は数値計算によって求められます。次の追加の仮定を加えた近似結果をいくつか示します。 ${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle -e}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Ze}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \nu =c/\lambda }$${\displaystyle h\nu }$${\displaystyle j(v,\nu )}$ $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$ ${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• 真空相互作用: プラズマ遮蔽効果など、背景媒体の影響は無視します。これは、プラズマ電子密度を持つプラズマ周波数 ​​よりも光子周波数がはるかに高い場合に妥当です。光波は に対してはエバネッセントであり、大幅に異なるアプローチが必要になることに注意してください。${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$${\displaystyle n_{\text{e}}}$${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• ソフト光子:つまり、光子のエネルギーは初期の電子の運動エネルギーよりもはるかに小さくなります。${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$

これらの仮定のもと、2 つの単位のないパラメータがプロセスを特徴づけます。は電子とイオンのクーロン相互作用の強さを測り、は光子の「柔らかさ」を測り、 は常に小さいと仮定します (係数 2 を選択したのは、後で便宜を図るためです)。 の限界では、量子力学のボルン近似により次のようになります。 ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$$${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

反対の極限では、完全な量子力学的結果は、純粋に古典的な結果に簡約されます 。 ここで、はオイラー・マスケローニ定数です。これはプランク定数のない純粋に古典的な表現であることに注意してください。 ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$$${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$${\displaystyle h}$

Gaunt 因子を理解する半古典的な発見的な方法は、次のように書くことです。ここで、 と は、光子電場が存在する場合の電子イオン衝突の「影響パラメータ」の最大値と最小値です。私たちの仮定では、:影響パラメータが大きいほど、光子場の正弦波振動によって「位相混合」が行われ、相互作用が大幅に減少します。は、量子力学のドブロイ波長と古典的な最接近距離のうち大きい方であり、電子イオンのクーロン位置エネルギーは、電子の初期運動エネルギーに匹敵します。 ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$${\displaystyle b_{\max }}$${\displaystyle b_{\min }}$${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$${\displaystyle b_{\rm {min}}}$${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$

上記の近似は、対数の引数が大きい限り一般的に適用され、1より小さい場合は破綻する。つまり、ゴーント因子のこれらの形式は負になり、非物理的である。適切なボルン限界と古典限界を用いた完全な計算の大まかな近似は、 $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

このセクションでは、マクロな媒体における制動放射線の放出と逆吸収プロセス (逆制動放射線と呼ばれる) について説明します。まず、制動放射線だけでなく一般的なプロセスに適用される放射伝達の方程式から始めます。 $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$は放射スペクトル強度、または両方の偏光にわたって合計された（面積×光子速度空間の立体角×光子周波数）あたりの電力です。は放射率で、上で定義したものと類似しており、は吸収率です。と は放射ではなく物質の特性であり、媒体内のすべての粒子を考慮します。前のセクションのように、1つの電子と1つのイオンのペアだけではありません。が空間と時間で均一である場合、伝達方程式の左辺はゼロであり、 ${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle j(v,\nu )}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle I_{\nu }}$$${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

物質と放射も、ある温度で熱平衡状態にある場合、黒体スペクトルは でなければなりません。 と はに依存しない ため、これは、物質がある温度で平衡状態にあるときは常に、放射の状態に関係なく、黒体スペクトルが でなければならないことを意味します。これにより、平衡状態にある物質について、 と のどちらかがわかれば 、すぐに両方を知ることができます。${\displaystyle I_{\nu }}$$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$${\displaystyle I_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$${\displaystyle j_{\nu }}$${\displaystyle k_{\nu }}$

注: このセクションでは現在、レイリー・ジーンズ限界 に適用される公式を示しており、放射の量子化 (プランク) 処理は使用していません。したがって、 のような通常の因子は表示されません。以下でのの出現は、衝突の量子力学的処理によるものです。${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$${\displaystyle y}$

プラズマでは、自由電子がイオンと絶えず衝突し、制動放射線が発生します。完全な解析には、2元クーロン衝突と集団（誘電）挙動の両方を考慮する必要があります。詳細な処理はBekefi ^[9]によって行われ、簡略化された処理はIchimaru ^[10]によって行われています。このセクションでは、衝突をカットオフ波数 を介して近似的に含めたBekefiの誘電処理に従います。${\displaystyle k_{\text{max}}}$

均一なプラズマを考えます。このプラズマでは、熱電子は温度 のマクスウェル・ボルツマン分布に従って分布しています。Bekefi に従って、放射される制動放射線の パワースペクトル密度（体積あたりの角周波数間隔あたりのパワー、立体角のsr全体にわたって積分され、両方の偏光において）は次のように計算されます。 ここで、 は電子プラズマ周波数​​、は光子周波数、は電子とイオンの数密度、その他の記号は物理定数です。2 番目の括弧内の係数はプラズマ内の光波の屈折率で、 では放射が大幅に抑制されることを示しています（これはプラズマ内の光波のカットオフ条件です。この場合、光波はエバネッセントです）。したがって、この式は にのみ適用されます。この式は、複数種のプラズマ内のイオン種にわたって合計する必要があります。 ${\displaystyle T_{\text{e}}}$${\displaystyle 4\pi }$ $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

特殊関数は指数積分の記事で定義され、単位のない量は ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$は、バイナリ衝突によって生じる最大またはカットオフ波数であり、イオン種によって変化する可能性があります。おおよそ、（あまり冷たくないプラズマでは一般的）のとき、 eVはハートリーエネルギー、^{[説明が必要]}は電子の熱ドブロイ波長です。それ以外の場合、は最接近時の古典的なクーロン距離です。 ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$${\displaystyle l_{\text{C}}}$

通常の場合、 ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$$${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

の式は、よりわずかに上で発生する放出の増加を無視する点で近似的です。${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

の極限では、を と近似できます。ここで、 はオイラー・マスケロニ定数です。先頭の対数項は頻繁に使用され、他の衝突プラズマ計算で発生するクーロン対数に似ています。 の対数項は負であり、近似は明らかに不十分です。Bekefi は、詳細なバイナリ衝突計算と一致する対数項の修正された式を示しています。 ${\displaystyle y\ll 1}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

全周波数にわたって積分された総放射電力密度は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$は とともに減少し、常に正である。 については、${\displaystyle y_{\text{p}}}$${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

の量子的性質によりが出現することに注意する。実用的な単位では、この式のよく使われるバージョンは^[11]である。${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$${\displaystyle G=1}$ $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

この式は上記の式の1.59倍であり、違いは二元衝突の詳細によるものです。このような曖昧さは、Gaunt因子を 導入することで表現されることが多く、例えば^{[12]ではすべてが}CGS単位 で表現されていることがわかります 。 ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$$${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

非常に高い温度では、この式に相対論的な補正、つまり のオーダーの追加項が存在します。^[13]${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$

プラズマが光学的に薄い場合、制動放射線はプラズマから放出され、プラズマ内部のエネルギーの一部を運び去ります。この効果は制動放射線冷却として知られています。これは放射冷却の一種です。制動放射線によって運び去られるエネルギーは制動放射線損失と呼ばれ、放射損失の一種です。制動放射線損失という用語は、通常、核融合プラズマなど、プラズマの冷却が望ましくない場合に使用されます。

偏極制動放射線（「原子制動放射線」と呼ばれることもある）は、入射荷電粒子のクーロン場によって標的原子が偏極される際に標的原子の電子から放出される放射線である。^{[14] [15]}偏極制動放射線が全制動放射線スペクトルに及ぼす影響は、比較的質量の大きい入射粒子、^[16]共鳴過程、^[17]自由原子[ ^18]を対象とする実験で観測されている。しかし、固体標的に高速電子を入射させる実験で偏極制動放射線が有意に寄与するかどうかについては、まだ議論の余地がある。^{[19] [20] [21]}

「偏光」という用語は、放出される制動放射線が偏光していることを意味するものではないことに注意する必要がある。また、偏光制動放射線の角度分布は、理論的には通常の制動放射線とはまったく異なる。^[22]

X 線管では、電子は真空中で電界によって加速され、「ターゲット」と呼ばれる物質に向かって進みます。電子がターゲットに当たると、X 線が放射されます。

物理学者は、X線が2つの成分から成り、1つは標的物質に依存しない成分、もう1つは蛍光特性を持つ成分であることを発見しました。^[23]現在では、出力スペクトルは、特定のエネルギーで鋭いピークが加わったX線の連続スペクトルから成ると言われています。前者は制動放射線によるもので、後者は標的の原子に関連する特性X線です。このため、この文脈での制動放射線は連続X線とも呼ばれます。 [ ^24]このドイツ語の用語自体は、最初の種類のX線の性質を説明するために、 1909年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって導入されました。 ^[23]

この連続スペクトルの形状は、クラマースの法則によってほぼ説明されます。

クラマースの法則の式は、通常、放射される放射線の波長に対する強度（光子数）の分布として表される。 ^[25]${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

定数Kは対象元素の原子番号に比例し、デュアン・ハントの法則によって与えられる最小波長です。 ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

スペクトルは で急激にカットオフしますが、これは入射電子のエネルギーが限られているためです。たとえば、管内の電子が 60 kVで加速されると、運動エネルギーは 60 keVになり、エネルギー保存則により、ターゲットに衝突したときに最大 60 keV のエネルギーを持つ X 線を生成できます。(この上限は、電子が 1 つの X 線光子を放出して停止することに対応します。通常、電子は多数の光子を放出し、それぞれのエネルギーは 60 keV 未満です。) エネルギーが最大 60 keV の光子の波長は少なくとも${\displaystyle \lambda _{\min }}$21  pmなので、グラフに見られるように、連続X線スペクトルはまさにそのカットオフを持っています。より一般的には、低波長カットオフの式であるデュアン・ハントの法則は、次のようになります。^[26] ここで、hはプランク定数、cは光速、Vは電子が加速される電圧、 eは素電荷、pmはピコメートルです。 $${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV} }$$

ベータ粒子を放出する物質は、制動放射線（下記の「外部制動放射線」を参照）による連続スペクトルの弱い放射線を時々示す。この場合、制動放射線は「二次放射線」の一種であり、一次放射線（ベータ粒子）を停止（または減速）した結果として生成される。制動放射線は、 X 線発生器で金属ターゲットに電子を衝突させることによって生成される X 線（上記）と非常によく似ているが、ベータ放射線からの高速電子によって生成される点が異なる。

「内部」制動放射線（「内部制動放射線」とも呼ばれる）は、電子の生成と、電子が原子核から離れるときに（崩壊する原子核の領域にある強い電場により）エネルギーが失われることによって発生します。このような放射線は原子核のベータ崩壊の特徴ですが、自由中性子が陽子にベータ崩壊するときに（あまり一般的ではありませんが）時々見られます。この場合は、ベータ電子が陽子から離れるときに生成されます。

ベータ崩壊による電子と陽電子の放出では、光子のエネルギーは電子-核子対から得られ、制動放射線のスペクトルはベータ粒子のエネルギーが増加するにつれて連続的に減少する。電子捕獲では、エネルギーはニュートリノを犠牲にして得られ、スペクトルは通常のニュートリノエネルギーの約3分の1で最大になり、通常のニュートリノエネルギーで電磁エネルギーがゼロに減少する。電子捕獲の場合、荷電粒子が放出されなくても制動放射線が放出されることに注意する。代わりに、制動放射線は、捕獲された電子が吸収される方向に加速されるときに生成されると考えることができる。このような放射線は、軟ガンマ線と同じ周波数である可能性があるが、ガンマ崩壊の鋭いスペクトル線を示さないため、厳密にはガンマ線ではない。

内部過程は、上で述べたように、外部から来た電子（つまり、別の原子核から放出された電子）が原子核に衝突することによって生じる「外部」制動放射線とは対照的である。^[27]

いくつかのケースでは、例えば³²
P 、通常使用される高密度材料（例えば鉛）でベータ線を遮蔽することによって生成される制動放射線自体が危険である。そのような場合には、遮蔽は プレキシガラス（ルーサイト）、プラスチック、木材、水などの低密度材料で行う必要がある。 ^[28]これらの材料の原子番号が低いため、制動放射線の強度は大幅に減少するが、電子（ベータ線）を止めるためにはより厚い遮蔽が必要となる。

銀河団内の支配的な発光成分は、10 ⁷～ 10 ⁸ケルビンの銀河間物質です。銀河間物質からの放射は、熱制動放射によって特徴付けられます。この放射は X 線のエネルギー範囲にあり、チャンドラ X 線観測衛星、XMM-ニュートン、ROSAT、ASCA、EXOSAT、すざく、RHESSIなどの宇宙望遠鏡や、将来のミッションであるIXO [1] や Astro-H [2] などで簡単に観測できます。

制動放射線は、電波波長における H II 領域の主な放出メカニズムでもあります。

電気放電、例えば実験室での2つの電極間の放電や、雲と地面の間、あるいは雲の中での雷放電では、電子は空気分子を散乱させながら制動放射線光子を生成する。これらの光子は地上のガンマ線閃光として現れ、電子、陽電子、中性子、陽子のビームの源となる。^[29]制動放射線光子の出現は、酸素濃度の低い窒素・酸素混合物中の放電の伝播と形態にも影響を与える。^[30]

完全な量子力学的記述は、ベテとハイトラーによって初めて行われた。^{[31]彼らは、原子核で散乱する電子を平面波と仮定し、その過程の完全な幾何学と放出された光子の周波数を関連付ける断面積を導出した。}対生成に対する量子力学的対称性を示す四重微分断面積は、

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここで、は原子番号、微細構造定数、縮小プランク定数、光速です。電子の初期状態と最終状態の運動エネルギーは、 を介して その全エネルギーまたは運動量と関連しています。 ここで、は電子の質量です。エネルギー保存則により、が得られます 。 ここで、 は光子のエネルギーです。放出された光子と散乱した電子の方向は によって与えられます 。 ここで、は光子の運動量です。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle c}$${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$$${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$${\displaystyle m_{\text{e}}}$$${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$${\displaystyle \hbar \omega }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {k} }$

微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

原子核と電子の間の 仮想光子の絶対値は

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

有効範囲はボルン近似によって与えられ 、この関係は初期状態と最終状態の電子の 速度に対して満たされる必要があります。$${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$${\displaystyle v}$

実際の応用（例えばモンテカルロコード）では、放出された光子の周波数と、この光子と入射電子との間の角度の関係に注目することが興味深い。ケーンとエーバートは、ベテとハイトラーの四重微分断面積をとについて積分し、 次 式を得た。^[32]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Theta _{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$