分岐点

数学の複素解析の分野において、多価関数の分岐点とは、その関数がその点で- 値（値を持つ）である場合に、そのすべての近傍に 個以上の値を持つ点が含まれる点のことです。^[1]多価関数はリーマン面を使用して厳密に研究されており、分岐点の正式な定義はこの概念を採用しています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

分岐点は、代数的分岐点、超越的分岐点、および対数的分岐点の 3 つの大まかなカテゴリに分類されます。代数的分岐点は、 の関数として の方程式を解くなど、根の抽出に曖昧さがある関数から最も一般的に生じます。ここで分岐点は原点です。これは、原点を含む閉ループの周りの任意の解の解析接続が異なる関数、つまり非自明なモノドロミーになるためです。代数的分岐点にもかかわらず、関数は多価関数として明確に定義され、適切な意味で原点で連続しています。これは、超越的分岐点や対数的分岐点、つまり多価関数が非自明なモノドロミーと本質的特異点を持つ点とは対照的です。幾何学的関数理論では、分岐点という用語を無条件で使用すると、通常、前者のより限定的な種類、つまり代数的分岐点を意味します。^[2] 複素解析の他の分野では、この無修飾語は超越型のより一般的な分岐点を指すこともあります。 ${\displaystyle w^{2}=z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$

を複素平面上の連結な開集合、を正則関数とします。 が定数でない場合、の臨界点の集合、つまり導関数 の零点は に極限点を持ちません。したがって、の各臨界点は、その閉包内に の他の臨界点を含まない円の中心にあります。${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f}$

を の境界とし、その正の向きをとるとします。の点に関する巻数はの分岐指数と呼ばれる正の整数です。 分岐指数が 1 より大きい場合、 はの分岐点と呼ばれ、対応する臨界値は (代数的)分岐点と呼ばれます。 同様に、 の近傍で定義された正則関数が存在し、整数 に対して となる場合、 は分岐点です。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle B(z_{0},r)}$${\displaystyle f(\gamma )}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$${\displaystyle k>1}$

通常、関心があるのは関数自体ではなく、その逆関数です。しかし、分岐点の近傍における正則関数の逆関数は適切には存在しないため、多価の意味で大域解析関数として定義せざるを得ません。言葉を誤用して、 の分岐点を大域解析関数 の分岐点と呼ぶことはよくあります。分岐点のより一般的な定義は、暗黙的に と定義されているような他の種類の多価大域解析関数に対して可能です。このような例を扱うための統一的な枠組みは、以下のリーマン面の言語で提供されています。特に、このより一般的な図では、次数が 1 より大きい 極も分岐点と見なすことができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

逆大域解析関数 に関して、分岐点 とは、その周囲に非自明なモノドロミーが存在する点のことです。たとえば、関数には に分岐点があります。逆関数は平方根 で、その分岐点は です。確かに、閉ループ を回ると、とから始まります 。しかし、ループを まで回った後はになります。したがって、原点を囲むこのループの周囲にはモノドロミーが存在します。 ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle z_{0}=0}$${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$${\displaystyle w_{0}=0}$${\displaystyle w=e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle e^{i0/2}=1}$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

g がz _{0 の}周りの穴あき円板上で定義された大域解析関数であるとする。このとき、g が超越分岐点を持つとは、z _0がgの本質的特異点であり、関数要素を点z _{0 を}囲む単純な閉曲線の周りで解析接続すると、異なる関数要素が生成されることを意味する。^[3]

超越分岐点の例としては、多価関数の原点が挙げられる。

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

ある整数k  > 1 に対して。ここで、原点の周りの回路のモノドロミー群は有限です。k個の完全な回路の周りの解析接続により、関数は元の状態に戻ります。

モノドロミー群が無限の場合、つまり、z _{0 の}周りの非ゼロの巻き数を持つ曲線に沿った解析接続によって元の関数要素に戻ることが不可能な場合、点z _0は対数分岐点と呼ばれます。^[4]これは、この現象の典型的な例が原点における複素対数の分岐点であるため、このように呼ばれます。原点を囲む単純な閉曲線の周りを反時計回りに1周すると、複素対数は 2 π iだけ増加します。巻き数wのループを回ると、対数は 2 π i wだけ増加し、モノドロミー群は無限巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

対数分岐点は超越分岐点の特殊なケースです。

関連する被覆リーマン面は分岐点自体の被覆に解析的に接続できないため、超越分岐点と対数分岐点には対応する分岐の概念はありません。したがって、このような被覆は常に非分岐です。

• 0は平方根関数の分岐点です。w  =  z ^1/2とすると、z は4 から始まり、 0 を中心とする複素平面上の半径4の円に沿って動きます。従属変数wは、 zに依存しながら連続的に変化します。z が 4 から再び 4 に戻って 1 周すると、 wは4 の正の平方根、つまり 2 から 4 の負の平方根、つまり -2 まで半周します。
• 0 は自然対数の分岐点でもある。e ^{0 は}e ^{2 π i}と同じなので、0 と 2 π i は両方ともln(1) の倍数値に含まれる。z が 0 を中心とする半径 1 の円に沿って動くと、w = ln ( z ) は 0 から 2 π iまで変化する。
• 三角法では、tan( π /4) と tan(5π / 4) はどちらも 1 に等しいため、2 つの数π /4 と 5π / 4 は arctan(1) の倍数値の中に含まれます。虚数単位iと − i は、逆正接関数 arctan( z ) = (1/2 i )log[( i  −  z )/( i  +  z )] の分岐点です。これは、導関数 ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z ² ) がこれらの 2 点で単純な極を持つことを観察するとわかります。これらの点では分母が 0 だからです。
•  関数 ƒ の導関数ƒ ' が点aに 単純な極を持つ場合、ƒ はaに対数分岐点を持ちます。逆は真ではありません。無理数 α に対する関数ƒ ( z ) = z ^{α は}対数分岐点を持ち、その導関数は極を持たない特異な関数だからです。

大まかに言えば、分岐点とは、多価関数のさまざまなシートが集まる点です。関数の分岐とは、関数のさまざまなシートのことです。たとえば、関数w  =  z ^1/2には 2 つの分岐があります。1 つは平方根がプラス記号で入る分岐で、もう 1 つはマイナス記号で入ります。分岐カットとは、複素平面上の曲線で、その曲線を除いた平面上に多価関数の単一の解析分岐を定義できるものです。分岐カットは通常、分岐点のペアの間で行われますが、常に行われるとは限りません。

分岐切断法では、多価関数の代わりに分岐切断に沿って「接着」された一価関数の集合を扱うことができる。例えば、関数

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

単値の場合、実軸上の区間 [0, 1] に沿って分岐カットを作成し、関数の 2 つの分岐点を接続します。同じ考え方を関数√ zに適用できますが、その場合は、無限遠点が、たとえば負の実軸全体に沿って 0 から接続する適切な「他の」分岐点であることを認識する必要があります。

分岐切断法は恣意的に見えるかもしれないが（実際そうである）、例えば特殊関数の理論では非常に有用である。分岐現象の不変な説明は、リーマン面理論（歴史的にはリーマン面理論の起源である）で展開され、より一般的には代数関数と微分方程式の分岐理論とモノドロミー理論で展開されている。

分岐切断の典型的な例は複素対数である。複素数が極形式z  =  r e ^{i θ}で表されている場合、 zの対数は

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

しかし、角度θ の定義には明らかな曖昧さがあります。θに 2 πの任意の整数倍を加えると、別の角度が得られる可能性があります。 対数の枝は、複素平面内の連結された開集合内のすべてのzに対してzの対数を与える連続関数L ( z ) です。 特に、対数の枝は、原点から無限大への任意の直線の補線に存在します。枝切断です。 枝切断の一般的な選択は負の実軸ですが、選択は主に便宜上の問題です。

対数は、分岐切断部を横切るときに 2 π iのジャンプ不連続性を持ちます。対数は、分岐切断部に沿って複素平面の可算な数のコピー (シートと呼ばれる)を貼り合わせることで連続にすることができます。各シートでは、対数の値は主値と 2 π i の倍数だけ異なります。これらの面は、対数を連続にするために、分岐切断部に沿って一意の方法で互いに貼り合わされます。変数が原点の周りを回るたびに、対数は異なる分岐に移動します。

分岐切断が複素解析の一般的な特徴である理由の1つは、分岐切断は無限小の剰余を持つ複素平面上の直線に沿って並べられた無限個の極の合計として考えることができるためである。例えば、

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \over za}}$

はz  =  aに単純な極を持つ関数です。極の位置で積分すると次のようになります。

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over za}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

は、−1 から 1 までのカットを持つ関数u ( z ) を定義します。積分線が点zを通過しない限り、積分値を変更することなく積分線をシフトできるため、分岐カットは移動できます。

分岐点の概念は、コンパクト連結リーマン面Xからコンパクトリーマン面Y (通常はリーマン球面) への正則関数 ƒ: X  →  Yに対して定義されます。定数でない限り、関数 ƒ は有限個の点を除くすべての点でその像への被覆写像になります。 ƒ が被覆にならないXの点はƒ の分岐点であり、分岐点の ƒ による像は分岐点と呼ばれます。

任意の点P  ∈  XおよびQ  = ƒ( P ) ∈  Yに対して、 Pの近くのXに対する正則局所座標zとQ の近くのYに対する正則局所座標 wが存在し、それらに関して関数 ƒ( z ) は次のように与えられる。

${\displaystyle w=z^{k}}$

ある整数kに対して、この整数はPの分岐指数と呼ばれます。通常、分岐指数は 1 です。しかし、分岐指数が 1 でない場合、Pは定義により分岐点となり、Q は分岐点となります。

Yがリーマン球面であり、Q がYの有限部分にある場合、特別な座標を選択する必要はありません。分岐指数はコーシーの積分公式から明示的に計算できます。 γ をP の周りのXの単純な整流可能なループとします。 Pでの ƒ の分岐指数は

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}} \,dz.}$

この積分は、ƒ(γ) が点Q の周りを回る回数です。上記のように、e _P > 1 の場合、 Pは分岐点、Q は分岐点です 。

代数幾何学の文脈では、分岐点の概念は任意の代数曲線間の写像に一般化できます。 ƒ: X  →  Y を代数曲線の射とします。Y上の有理関数をX上の有理関数に引き戻すと、K ( X ) はK ( Y )の体拡大になります。 ƒ の次数は、この体拡大の次数 [ K ( X ): K ( Y )] と定義され、次数が有限である場合に ƒ は有限であると言われます。

ƒ は有限であると仮定する。点P  ∈  Xに対して、分岐指数e _{P は}次のように定義される。Q  = ƒ( P ) とし、t をPにおける局所均一化パラメータとする。つまり、t はQの近傍で定義され、t ( Q ) = 0 の微分がゼロでない正規関数である。 t をƒ だけ引き戻すと、 X上の正規関数が定義される。すると

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

ここで、 v _{P は}Pにおける正則関数の局所環の付値です。つまり、e _{P は}Pで消える次数です。e _P > 1 の場合、 ƒ はP で分岐していると言われます。その場合、Q は分岐点と呼ばれます。 ${\displaystyle t\circ f}$

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