マンデルシュタム変数

理論物理学において、マンデルシュタム変数は、散乱過程における粒子のエネルギー、運動量、角度をローレンツ不変な形で符号化する数値量です。これらは、2 つの粒子から 2 つの粒子への散乱過程に使用されます。マンデルシュタム変数は、1958 年に物理学者スタンレー マンデルシュタムによって初めて導入されました。

ミンコフスキー計量が と選択された場合、マンデルシュタム変数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle s,t,u}$

• ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}c^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}c^{2}}$
• ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}c^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}c^{2}}$
• ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}c^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}c^{2}}$、

ここで、p ₁とp _{2 は}入射粒子の四元運動量であり、 p ₃とp _{4 は}出射粒子の四元運動量です。

${\displaystyle s}$は、質量中心エネルギー（不変質量）の二乗、および四元運動量移動の二乗としても知られています。 ${\displaystyle t}$

文字s、t、u は、 s チャネル(時間的チャネル)、t チャネル、およびu チャネル(両方とも空間的チャネル)という用語でも使用されます。これらのチャネルは、それぞれ異なるファインマン図、または相互作用に四元運動量の二乗がs、t、u に等しい中間粒子の交換が含まれる異なる散乱イベントを表します。

たとえば、s チャネルは、粒子 1、2 が結合して中間粒子になり、最終的に 3、4 に分裂することを意味します。s チャネルは、共鳴や新しい不安定粒子の寿命が直接検出できるほど長い場合に、それらを発見できる唯一の方法です。^{[出典が必要]} t チャネルは、粒子 1 が中間粒子を放出して最終粒子 3 になり、粒子 2 が中間粒子を吸収して 4 になるプロセスを表します。u チャネルは、粒子 3、4 の役割が入れ替わった t チャネルです。

ファインマン振幅を評価する場合、外部 4 運動量のスカラー積が見つかることがよくあります。マンデルシュタム変数を使用して、これらを簡略化できます。

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}={\frac {s/c^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{3}={\frac {m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-t/c^{2}}{2}}}$

${\displaystyle p_{1}\cdot p_{4}={\frac {m_{1}^{2}+m_{4}^{2}-u/c^{2}}{2}}}$

対応する運動量を持つ粒子の質量はどこにあるか。 ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

ご了承ください

${\displaystyle (s+t+u)/c^{4}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$

ここでm _{i は}粒子iの質量である。^[1]

相対論的極限では、運動量（速度）は大きいので、相対論的エネルギー運動量方程式を使用すると、エネルギーは本質的に運動量ノルムになります（例：になります）。静止質量も無視できます。 ${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}}$${\displaystyle E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$

例えば、

${\displaystyle s/c^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}}$

なぜなら、そして。 ${\displaystyle p_{1}^{2}=m_{1}^{2}}$${\displaystyle p_{2}^{2}=m_{2}^{2}}$

したがって、

• ファインマン図
• バーバ散乱
• モーラー散乱
• コンプトン散乱

• Mandelstam, S. (1958). 「分散関係とユニタリティーによるパイ中間子-核子散乱振幅の決定」. Physical Review . 112 (4): 1344. Bibcode :1958PhRv..112.1344M. doi :10.1103/PhysRev.112.1344. 2000-05-28 にオリジナルからアーカイブされました。
• ハルゼン、フランシス、マーティン、アラン（1984）。クォークとレプトン：現代素粒子物理学入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-88741-2。
• パーキンス、ドナルド H. (2000)。高エネルギー物理学入門（第 4 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-62196-8。