射影階層

数学の記述的集合論の分野では、ポーランド空間の部分集合が射影的であるとは、それが何らかの正の整数に対して射影的であることを意味 する。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{1}}$解析的であれば${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$の補集合が、${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma}}_{n+1}^{1}}$ポーランド空間と、が への射影となるような部分集合が存在する場合、つまり、${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$${\displaystyle C\subseteq X\times Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A=\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in C\}.}$

上記の第 3 項におけるポーランド空間の選択はそれほど重要ではありません。定義では、固定された非可算ポーランド空間、たとえば、ベール空間やカントール空間、または実数直線に置き換えることができます。 ${\displaystyle Y}$

ベール空間の部分集合上の相対化された解析階層（細字および で表記）とベール空間の部分集合上の射影階層（太字および で表記）の間には密接な関係がある。ベール空間のすべての部分集合が であるわけではない。しかし、ベール空間の部分集合Xが である場合、 Xが である自然数集合Aが存在することは事実である。同様のことが集合についても成り立つ。したがって、射影階層によって分類される集合は、解析階層の相対化バージョンによって分類される集合とまったく同じである。この関係は、効果的な記述集合論において重要である。定義可能性の観点から述べると、実数の集合が射影的であるためには、それが何らかの実パラメータから2 階算術の言語で定義可能である必要がある。^[1]${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$

射影階層と相対化解析階層の間の同様の関係は、カントール空間のサブセット、より一般的には任意の有効ポーランド空間のサブセットにも当てはまります。

• ボレル階層

• Kechris, AS (1995)、Classical Descriptive Set Theory、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94374-9
• ロジャース、ハートリー(1987) [1967]、「再帰関数と効果的な計算可能性の理論」、MIT 出版のペーパーバック第 1 版、ISBN 978-0-262-68052-3