マーティン測定

記述集合論において、マーティン測度は自然数の集合のチューリング次数集合上のフィルターであり、ドナルド・A・マーティンにちなんで名付けられました。決定性の公理の下では、これは超フィルターであることが示されます。

させて${\displaystyle D}$自然数の集合のチューリング次数集合とする。ある同値類が与えられたとき、${\displaystyle [X]\in D}$円錐（または上向き円錐）を定義することができます${\displaystyle [X]}$すべてのチューリング次数の集合として${\displaystyle [Y]}$そのため${\displaystyle X\leq _{T}Y}$; ^{[ 1 ]}つまり、「少なくとも同じくらい複雑」なチューリング次数の集合は${\displaystyle X}$チューリング還元の下で。順序理論的な用語では、${\displaystyle [X]}$は、​${\displaystyle [X]}$。

決定性の公理を仮定すると、円錐補題は、 Aがチューリング次数の集合である場合、 A は円錐を含むか、Aの補集合は円錐を含むことを述べている。^{[ 1 ]}これはワッジ次数に関するワッジの補題に似ており、次の結果にとって重要である。

セット${\displaystyle A}$チューリング次数のうち、マーティン測度の下で測度1を持つのは、${\displaystyle A}$円錐が含まれています。可能なので、${\displaystyle A}$プレイヤーIが勝利戦略を持つゲームを構築するには、${\displaystyle A}$円錐を含み、プレイヤー II が勝利戦略を持っているのは、補集合がちょうど${\displaystyle A}$円錐を含み、決定性の公理は、チューリング次数の測度1の集合が超フィルターを形成することを意味する。

可算個の円錐の交差がそれ自体円錐であることを示すのは容易である。したがって、マーティン測度は可算完備フィルターである。この事実と、マーティン測度が$\displaystyle \omega _{1}}$単純なマッピングによって、$\displaystyle \omega _{1}}$これは決定性の公理の下で測定可能である。この結果は、決定性と大きな基数との間の重要な関連性の一部を示している。

• モスコヴァキス、ヤニス・N. (2009).記述的集合論. 数学概説およびモノグラフ. 第155巻 （第2 版）. アメリカ数学会. p.  338. ISBN 9780821848135。