位相ゲーム

数学において、位相ゲームとは、位相空間上で 2 人のプレイヤーが行う完全情報の無限ゲームです。プレイヤーは、点、開集合、閉集合、開被覆などの位相特性を持つオブジェクトを選択します。時間は一般に離散的ですが、プレイは超限の長さになる場合があり、連続時間への拡張が提案されています。プレイヤーが勝つための条件には、位相閉包や収束などの概念が含まれる場合があります。

いくつかの基本的な位相的構成は、位相ゲームに自然に対応するものがあることがわかっています。これらの例としては、ベール特性、ベール空間、完全性と収束性、分離特性、被覆性と基底特性、連続像、ススリン集合、特異空間などがあります。同時に、位相ゲームで自然に生じるいくつかの位相的特性は、ゲーム理論の文脈を超えて一般化できます。この双対性により、位相ゲームは位相空間の新しい特性を説明したり、既知の特性を別の観点から評価したりするために広く使用されています。選択原理との密接な関係もあります。

位相ゲームという用語は、クロード・ベルジュ^{[1] [2] [3]}によって初めて導入され、 彼は位相群との類推で基本的な考え方と形式主義を定義しました。位相ゲームの別の意味である「ゲームによって定義される位相的性質」という概念は、ラスティスラフ・テルガルスキー^[4]の論文で導入され、 後に「位相ゲームによって定義される空間」^{[5]となりました。このアプローチは、行列ゲーム、}微分ゲーム、統計ゲーム との類推に基づいており、位相幾何学における位相ゲームの定義と研究を行っています。35年以上経って、「位相ゲーム」という用語は広く普及し、数百の出版物に登場しました。テルガルスキーの調査論文^[6]は、 位相ゲームの起源がバナッハ-マズールゲームにあることを強調しています。

位相ゲームには他に 2 つの意味がありますが、これらはあまり頻繁に使用されません。

• 位相ゲームという用語は、レオン・ペトロジャン^[7]が敵対的な追跡回避ゲームの研究で導入した。これらの位相ゲームにおける軌道は時間的に連続している。
• ナッシュのゲーム（ヘックスゲーム）、ミルナーのゲーム（Yゲーム）、シャプレーのゲーム（射影平面ゲーム）、およびゲイルのゲーム（ブリッジイットゲーム）は、デビッド・ゲイルの招待講演[1979/80]で位相ゲームと呼ばれました。これらのゲームの動きの数は常に有限です。これらの位相ゲームの発見または再発見は、1948年から1949年に遡ります。

完全情報の 無限位置ゲームに対して、多くのフレームワークを定義できます。

典型的な設定は、2人のプレーヤーIとIIが交互に位相空間Xの部分集合を選択するゲームです。n番目のラウンドでは、プレーヤーIがXの部分集合I _{n を}プレイし、プレーヤーIIが部分集合 J _nで応答します。すべての自然数nごとにラウンドがあり、すべてのラウンドがプレイされた後、プレーヤーIがシーケンス

I ₀、J ₀、I ₁、J ₁、...

いくつかのプロパティを満たし、そうでない場合はプレイヤーIIが勝利します。

ゲームは、ターゲットプロパティと各ステップで許可される動きによって定義されます。たとえば、バナッハ-マズールゲーム BM ( X ) では、許可される動きは前の動きの空でない開集合であり、 の場合にプレイヤーI が勝ちます。 ${\displaystyle \bigcap _{n}I_{n}\neq \emptyset }$

この典型的な設定は、さまざまな方法で変更できます。たとえば、各移動は、 Xのサブセットではなく、とのペアで構成される場合があります。あるいは、移動のシーケンスの長さがω以外の序数になる場合があります。 ${\displaystyle (I,p)}$${\displaystyle I\subseteq X}$${\displaystyle p\in x}$

• ゲームのプレイは、合法的な動きの連続である

I ₀、J ₀、I ₁、J ₁、...

プレイの結果は、各プレイヤーの勝利か敗北のいずれかになります。

• プレイヤーPの戦略は、 Pの対戦相手のすべての合法的な有限シーケンスの動きに対して定義される関数です。たとえば、プレイヤーIの戦略は、シーケンス ( J ₀、J ₁、 ...、J _n )からXのサブセットへの関数sです。プレイヤーPのすべての動きが、対戦相手の以前の動きシーケンスのsの値である場合、ゲームは戦略 s に従ってプレイされていると言われます。したがって、 s がプレイヤーIの戦略である場合、プレイは

${\displaystyle s(\lambda ),J_{0},s(J_{0}),J_{1},s(J_{0},J_{1}),J_{2},s(J_{0},J_{1},J_{2}),\ldots }$

は戦略 s に従います。(ここで λ は空の一連の動きを表します。)

• プレイヤーPの戦略は、戦略sに従ったすべてのプレイが、対戦相手の任意の正当な動きのシーケンスに対して、プレイヤーPの勝利につながる場合、勝利していると言われます。プレイヤーPがゲームGに対して勝利戦略を持っている場合、これは と表されます。どちらかのプレイヤーがGに対して勝利戦略を持っている場合、G は決定されていると言われます。選択公理から、非決定位相ゲームが存在することがわかります。${\displaystyle P\uparrow G}$
• Pの戦略が定常的であるとは、 Pの対戦相手の最後の動きにのみ依存することを意味する。対戦相手の最後の動きと動きの順序数の両方に依存する場合は、マルコフです。

最初に研究された位相ゲームはバナッハ・マズール ゲームであり、これはゲーム理論的概念と位相的性質の関係を示す刺激的な例です。

Y を位相空間とし、X をYのサブセット（勝利集合と呼ばれる）とする。プレイヤーI は空でない開集合 を選択してゲームを開始し、プレイヤーII は空でない開集合 で応答する。この方法でゲームが続行され、プレイヤーは交互に前回のプレイの空でない開集合 を選択する。各自然数ごとに 1 回ずつ、無限のシーケンスの移動の後、ゲームは終了し、Iが勝つのは次の場合のみである。 ${\displaystyle I_{0}\subseteq Y}$${\displaystyle J_{0}\subseteq I_{0}}$

${\displaystyle X\cap \bigcap _{n\in \omega }I_{n}\neq \emptyset .}$

ゲームによって実証されるゲーム理論的および位相的な接続には次のものが含まれます。

• II がゲームで勝利する戦略を持つのは、 X がYの最初のカテゴリである場合のみです(集合が最初のカテゴリ、つまり希薄な集合であるのは、どこにも稠密でない集合の可算な和集合である場合です)。
• Yが完全な距離空間である場合、X がYの空でない開部分集合に一致する場合のみ、I は勝利戦略を持ちます。
• X がYにおいてBaire の特性を持つ場合、ゲームは決定されます。

その他の注目すべき位相ゲームは以下のとおりです。

• ウラムによって導入された二元ゲーム— バナッハ-マズール ゲームの修正版。
• バナッハゲーム— 実数直線の部分集合上でプレイされる。
• ショケゲーム— ふるい分け可能な空間に関連する。
• ポイントオープンゲーム - プレイヤーI がポイントを選択し、プレイヤーII がそれらのオープン近傍を選択します。
• 選択ゲーム — 各ラウンドでプレイヤーI は(位相的な) コレクションを選択し、プレイヤー II はそのコレクションのメンバーまたは有限のサブセットを選択します。選択原理 § 位相ゲーム を参照してください。

長年にわたり、クラトフスキーの共縮約原理、閉じた射影類の集合の分離と縮約の性質、ルージンのふるい、不変記述集合論、ススリン集合、閉グラフ定理、網状空間、MP空間、選択公理、計算可能関数などを研究するために、さらに多くのゲームが導入されてきました。位相ゲームは、数理論理学、モデル理論、無限に長い式、交互量指定子の無限文字列、超フィルター、半順序集合、無限グラフの彩色数などのアイデアにも関連付けられています。

より長いリストとより詳細な説明については、1987年のテルガルスキーの調査論文を参照してください。^[6]

• 位相幾何学パズル