滞留時間

時刻tにおける制御体積内のすべての粒子の平均年齢は、年齢分布の1 次モーメントです。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \tau _{a}(t)=\int _{0}^{\infty }\tau I(\tau ,t)\,d\tau }$

平均滞留時間または平均通過時間、すなわち時刻tで制御体積から出るすべての粒子の平均年齢は、滞留時間分布の 1 次モーメントです。^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \tau _{t}(t)=\int _{0}^{\infty }\tau E(\tau ,t)\,d\tau .}$

平均年齢と平均通過時間は、定常状態であっても一般的に異なる値をとる。^{[ 2 ]}

• $\displaystyle \tau _{a}<\tau _{t}}$例としては、流入と流出が反対側にある湖の水や、核爆弾実験によって成層圏上層部に放出され、対流圏に浸透する放射性物質などが挙げられる。
• $\displaystyle \tau _{a}=\tau _{t}}$EとIは指数分布です。例としては、放射性崩壊や一次化学反応（反応速度が反応物の量に比例する場合）などがあります。
• $\displaystyle \tau _{a}>\tau _{t}}$: 制御体積に入る粒子のほとんどはすぐに通過しますが、制御体積内に含まれる粒子のほとんどはゆっくりと通過します。例としては、入口と出口が近い湖の水や、海面から上昇する水蒸気が挙げられます。水蒸気の大部分はすぐに海に戻りますが、残りは大気中に保持され、ずっと後になって雨の形で戻ってきます。^{[ 2 ]}

流れが定常的で保存的である場合、平均滞留時間は制御体積に含まれる流体の量とそこを通過する流量の比に等しくなります。^{[ 2 ]}

$\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {dm}{dt}}=0&\\f_{\text{in}}=f_{\text{out}}=f&\end{aligned}}\ \right\}\implies \tau _{t}={\frac {m}{f}}}$

この比率は一般的にターンオーバー時間またはフラッシング時間として知られています。^{[ 4 ]}液体に適用される場合、水力滞留時間( HRT )、水力滞留時間、または水力滞留時間としても知られています。^{[ 5 ]}化学工学の分野では、これは空間時間としても知られています。^{[ 6 ]}

混合物中の特定の化合物の滞留時間は、その化合物が化学反応に関与せず（そうでなければその流れは保存的ではない）、かつその濃度が均一である場合に限り、回転時間（化合物の回転時間と混合物の回転時間）と等しくなります。^{[ 3 ]}

滞留時間と比率の等価性は${\displaystyle m/f}$流れが定常的でない場合や保存的でない場合は成り立たないが、流れが平均的に定常的で保存的である場合は平均的に成り立つ（ただし、必ずしも任意の瞬間に成り立つとは限らない）。待ち行列理論やサプライチェーン管理でよく見られるこのような条件下では、この関係はリトルの法則として知られている。

理想的なプラグフローリアクター（PFR）では、流体粒子は到着した順序で排出され、前後の粒子と混ざることはありません。したがって、時刻tに流入した粒子は時刻t + Tに流出し、すべての粒子がリアクター内で時間Tを過ごします。滞留時間分布は、 Tだけ遅延したディラックのデルタ関数になります。

${\displaystyle E(\tau )=\delta (\tau -T)\,}$

平均はTで、分散はゼロです。^{[ 1 ]}

実際の反応器の滞留時間分布（RTD）は、容器内の流体力学に応じて、理想的な反応器のRTDとは異なってきます。分散がゼロでないということは、流体の経路に沿って何らかの分散が存在することを示しており、これは乱流、不均一な速度分布、または拡散に起因する可能性があります。分布の平均値が予想時間Tよりも早い場合は、容器内に停滞した流体が存在することを示しています。RTD曲線に複数の主要なピークが見られる場合は、チャネリング、出口への平行経路、または強い内部循環を示している可能性があります。

PFR（プラグフロー反応器）では、反応物は反応器の一端から流入し、反応器内を移動しながら反応する。そのため、反応速度は反応器内の濃度変化に依存し、反応速度の逆数を反応率で積分する必要がある。

${\displaystyle \tau =C_{AO}\int {\frac {1}{(-r_{A})}}\,df_{A}}$

バッチ反応器とは、反応物が時間0で反応器内に投入され、反応が停止するまで反応が続く反応器のことである。したがって、空間時間はバッチ反応器における平均滞留時間と同じである。

${\displaystyle \tau =N_{AO}\int {\frac {1}{(-r_{A})V_{R}}}\,df_{A}}$

理想的な連続攪拌槽型反応器（CSTR）では、入口からの流れは反応器内部に完全に瞬時に混合されます。反応器内および出口の流体は、常に同一で均質な組成を持ちます。滞留時間分布は指数関数的です。

${\displaystyle E(\tau )={\frac {1}{T}}\exp \left({\frac {-\tau }{T}}\right).}$

ここで、平均はT、分散は 1 です。^{[ 1 ]}プラグフローリアクターとの顕著な違いは、システムに導入された物質が完全にシステムから出ることはないということです。^{[ 4 ]}

実際には、入口を通過した分子が出口に到達するまでに必ず遅延が生じるため、このような急速な混合は不可能であり、したがって、実際の反応器のRTDは、特に大型反応器の場合、理想的な指数関数的減衰から逸脱します。たとえば、Eが最大値に達するまでには有限の遅延があり、その遅延の長さは反応器内の物質移動速度を反映します。プラグフロー反応器の場合と同様に、初期の平均値は容器内の流体の停滞を示し、複数のピークの存在は、チャネリング、出口への平行経路、または強い内部循環を示している可能性があります。反応器内の短絡流は、RTD曲線において、注入後すぐに出口に到達する濃縮トレーサーの小さなパルスとして現れます。反応物はタンクに連続的に流入および流出し、そこで混合されます。したがって、反応は出口濃度に依存する速度で進行します。

${\displaystyle \tau ={\frac {C_{A{\text{ in}}}-C_{A{\text{ out}}}}{-r_{A}}}\ }$

層流反応器では、流体は長い管または平行平板反応器を流れ、流れは管の壁に平行な層状になります。流れの速度は半径の放物線関数です。分子拡散がない場合、RTDは^{[ 8 ]です。}

${\displaystyle E(\tau )={\begin{cases}0&\tau \leq T/2\\[5pt]{\dfrac {T^{2}}{2\tau ^{3}}}&\tau >T/2.\end{cases}}}$

分散は無限大です。実際の反応器では、拡散によって最終的に層が混合され、RTD のテールが指数関数的になり、分散が有限になります。しかし、層流反応器では、CTSD 反応器の最大値である 1 を超える分散を持つことができます。^{[ 1 ]}

リサイクルリアクターは、リサイクルループを備えたPFR（プラグフロー反応器）である。したがって、PFRとCSTR（連続攪拌槽型反応器）の中間的な性質を持つ。

${\displaystyle \tau =C_{AO}(R+1)\int {\frac {1}{(-r_{A})}}\,df_{A}}$

これらのすべての方程式において ：${\displaystyle -r_{A}}$は反応物Aの消費速度です。これは、 Aが関与する速度式に等しくなります。速度式は、 Aの消費と、変換率に依存する温度変化によるk の変化の両方を通じて、分率変換率と関連付けられることがよくあります。^{[ 7 ]}

反応によっては、反応物と生成物の密度が大きく異なる場合があります。そのため、反応が進むにつれて反応液の体積が変化します。この体積の変化は、設計式に項を追加します。この体積変化を考慮すると、反応液の体積は次のようになります。

${\displaystyle V_{R}=V_{R{\text{ initial}}}(1-\delta _{A}f_{A})}$

これを設計方程式に代入すると、次の式が得られます。

この方法では、反応器の入口に非常に少量の濃縮トレーサーを導入し、ディラックのデルタ関数に近づける必要がありました。^{[ 10 ] [ 8 ]}無限に短い注入は生成できませんが、容器の平均滞留時間よりもはるかに短くすることは可能です。トレーサーの質量が、${\displaystyle M}$、容積の容器に導入される${\displaystyle V}$そして予想滞在時間は$\displaystyle \tau }$結果として得られる曲線は${\displaystyle C(t)}$以下の関係式により、無次元の滞留時間分布曲線に変換することができる。

${\displaystyle E(t)={\frac {C(t)}{\int _{0}^{\infty }C(t)\,dt}}}$

ステップ実験では、反応器入口でのトレーサーの濃度が0から急激に変化します。${\displaystyle C_{0}}$出口におけるトレーサーの濃度を測定し、濃度を正規化する。${\displaystyle C_{0}}$無次元曲線を取得する${\displaystyle F(t)}$0から1までの値をとります。

${\displaystyle F(t)={\frac {C(t)}{C_{0}}}.}$

反応器のステップ応答とパルス応答は、以下の関係式で表されます。

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}E(t')\,dt'\qquad E(t)={\frac {dF(t)}{dt}}}$

ステップ実験はパルス実験よりも実施が容易な場合が多いが、パルス応答で示されるような詳細な特性が平滑化されてしまう傾向がある。実験で得られたパルス応答を数値積分することで、ステップ応答の非常に精度の高い推定値を得ることは容易であるが、濃度測定におけるノイズは数値微分によって増幅されるため、その逆は必ずしも当てはまらない。

化学反応器では、成分を高収率で反応させることが目標です。均一な一次反応では、原子または分子が反応する確率は、その滞留時間のみに依存します。

${\displaystyle P_{\mathrm {R} }=\exp \left(-kt\right)}$

速度定数の場合${\displaystyle k}$RTDが与えられた場合、平均確率は濃度の比率に等しい。${\displaystyle a}$前後のコンポーネントについて：^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\overline {P_{\mathrm {R} }}}=a_{\mathrm {out} }/a_{\mathrm {in} }=\int _{0}^{\infty }\exp \left(-kt\right)E(t)\,dt.}$

反応がより複雑な場合、出力はRTDによって一意に決定されるわけではありません。また、異なる時間に流入した分子間の混合であるマイクロミキシングの程度にも依存します。混合がない場合、システムは完全に分離されていると言われ、出力は次の形式で表すことができます。

${\displaystyle a_{\mathrm {out} }=\int _{0}^{\infty }a_{\mathrm {batch} }(t)E(t)\,dt.}$

所定のRTDに対して、混合できる量の上限があり、これを最大混合度と呼び、これが達成可能な収率を決定します。連続攪拌槽型反応器は、完全に分離した状態から完全な混合状態までの範囲のどこにでも存在できます。^{[ 1 ]}

化学反応器のRTDはCFDシミュレーションによって得ることができます。実験で行われる手順とまったく同じ手順に従うことができます。不活性トレーサー粒子のパルス（非常に短い時間）が反応器に注入されます。トレーサー粒子の直線運動はニュートンの運動の第2法則によって支配され、流体とトレーサーの間には一方向の結合が確立されます。一方向の結合では、流体は抗力によってトレーサーの運動に影響を与えますが、トレーサーは流体に影響を与えません。トレーサーのサイズと密度は、トレーサーの時定数が非常に小さくなるように選択されます。このようにして、トレーサー粒子は流体とまったく同じ経路をたどります。^{[ 11 ]}

水理滞留時間 (HRT) は、地下水を通る環境毒素やその他の化学物質の輸送において重要な要素です。汚染物質が特定の地下空間を通過するのに要する時間は、土壌または岩石の飽和度と透水係数に関係しています。 ^{[ 12 ]}多孔性は、地中を通る水の移動 (例えば、地下水位に向かう) に大きく影響するもう 1 つの重要な要素です。孔の密度とサイズの交点は、媒体を通る流量の程度または大きさを決定します。この考え方は、粘土と砂利を通る水の移動方法を比較することで説明できます。粘土では、同じ垂直距離を通過する滞留時間は、砂利では同じ距離を通過する滞留時間よりも長くなります。どちらも多孔性の高い材料として特徴付けられていますが、これは砂利媒体では孔のサイズが粘土よりもはるかに大きいため、地下圧力勾配と重力に逆らう静水圧張力が少なくなるためです。

地下水の流れは、鉱山操業用の廃石貯水池の設計において考慮すべき重要なパラメータです。廃石は、巨礫から粘土サイズの粒子まで様々な粒子を含む不均質な材料であり、地下水の水質を損なわないように、また流出が周辺地域で環境問題を引き起こさないように制御しなければならない硫化物汚染物質を含んでいます。 ^{[ 12 ]}難透水層は、水の流れを部分的または完全に遅らせるほどの不透水性を持つ粘土層です。^{[ 5 ] [ 13 ]}これらの粘土レンズは、地下水への浸透を遅らせたり止めたりすることができますが、難透水層が破砕され汚染されている場合は、透水性が低くHRTが高いため、長期的な地下水汚染源となる可能性があります。^{[ 13 ]}

廃水や飲料水の一次処理には、追加処理を施す前に、沈殿槽で沈殿させて固形物をできるだけ多く除去することが含まれます。^{[ 5 ]}除去される量は、水理滞留時間（HRT）によって制御されます。^{[ 5 ]}水が容積内をゆっくりと流れると、固形粒子を流れの中に保持するためのエネルギーが少なくなり、底に沈殿する時間が長くなります。沈殿槽の一般的なHRTは約2時間ですが、^{[ 5 ]}医薬品やホルモンなどの微量汚染物質を除去するために、より長い時間を推奨するグループもあります。^{[ 14 ]}

消毒は、廃水または飲料水の三次処理の最終段階です。未処理の水に存在する病原体の種類には、細菌やウイルスのように簡単に死滅するものと、原虫や嚢子のようにより頑丈なものが含まれます。^{[ 5 ]}消毒室は、それらすべてを死滅または不活性化するのに十分な長いHRTを備えている必要があります。

気体または液体の原子や分子は、吸着と呼ばれるプロセスで固体表面に捕捉されることがあります。これは熱を放出する発熱プロセスであり、表面を加熱すると、一定時間内に原子が脱出する確率が高まります。${\displaystyle T}$吸着原子の滞留時間は次式で与えられる。

${\displaystyle \tau =\tau _{0}\exp \left({\frac {E_{\mathrm {a} }}{RT}}\right),}$

どこ${\displaystyle R}$は気体定数です。${\displaystyle E_{\mathrm {a} }}$は活性化エネルギーであり、$\displaystyle \tau _{0}}$は表面原子の振動時間と相関のある前因子です（一般的にオーダーは$10^{-12}}$秒）。^{[ 15 ]： 27 [ 16 ]： 196}

真空技術において、真空チャンバー表面におけるガスの滞留時間は、脱ガスによる圧力を決定する要因となり得る。チャンバーを加熱できる場合、上記の式からガスを「焼き出す」ことができることがわかる。しかし、加熱できない場合は、超高真空を実現するために滞留時間の短い表面が必要となる。^{[ 16 ]： 195}

環境用語では、滞留時間の定義は、地下水、大気、氷河、湖、河川、海洋に合わせて調整されます。より具体的には、水が帯水層、湖、河川、またはその他の水域内に留まり、その後水循環を続けるまでの時間を指します。この時間は、浅い砂礫帯水層では数日から、透水係数が非常に低い深い帯水層では数百万年に及ぶまで様々です。河川における水の滞留時間は数日ですが、大きな湖では数十年に及ぶこともあります。大陸氷床の滞留時間は数十万年、小さな氷河では数十年です。

地下水滞留時間に関する応用例は、汚染物質が地下水飲料水源に到達して汚染するまでにかかる時間と、その濃度を判断するのに役立ちます。また、流入、流出、水量によって地下水源が汚染から解放されるまでの時間を判断する際にも役立ちます。湖や河川の滞留時間も、湖内の汚染物質濃度と、それが地域住民や海洋生物に及ぼす影響を判断する上で重要です。

水文学、すなわち水の研究では、滞留時間という観点から水の収支を論じます。水がそれぞれの生命段階（氷河、大気、海洋、湖、小川、河川）で過ごす時間の長さは、地球上のすべての水の関係性、そして水が様々な形態でどのように関連しているかを示すために用いられます。

薬物の大きなクラスは、体内の酵素に結合してその活性を阻害する酵素阻害剤です。この場合、薬物と標的の滞留時間（薬物が標的に結合している時間の長さ）が重要になります。滞留時間は、koff速度定数の逆数として定義されます（滞留時間 = 1/koff）。滞留時間が長い薬物は、効果がより長く持続するため、より少ない用量で使用できるため望ましいです。^{[ 17 ]： 88}この滞留時間は、相互作用の速度論によって決定され、 ^{[ 18 ]}例えば、標的と薬物の形状と電荷がどの程度相補的であるか、外部の溶媒分子が結合部位から排除されているかどうか（それによって形成された結合が切断されるのを防ぐ）、^{[ 19 ]}化学的解離の半減期に比例します。^{[ 18 ]}滞留時間を測定する一つの方法は、標的酵素を阻害剤と共にインキュベートし、平衡状態に達するまで放置した後、急速に希釈する前培養希釈実験である。生成物の量を測定し、阻害剤を添加しない対照と比較する。^{[ 17 ]： 87-88}

滞留時間とは、薬剤が吸収されるべき体内の部位に留まる時間を指す場合もあります。滞留時間が長いほど、より多くの薬剤が吸収されます。薬剤が経口投与され、上部消化管に到達する場合、通常は食物とともに移動するため、滞留時間は食物の滞留時間とほぼ同じになります。これにより、一般的に3～8時間の吸収時間が確保されます。^{[ 20 ]： 196}薬剤が口腔内の粘膜を通して投与される場合、唾液によって洗い流されるため、滞留時間は短くなります。この滞留時間を延長するための戦略としては、生体接着性ポリマー、ガム、トローチ、乾燥粉末などが挙げられます。^{[ 20 ]： 274}

サイズ排除クロマトグラフィーでは、分子の滞留時間はその体積に関係しており、体積はおおよそ分子量に比例します。滞留時間は連続発酵槽の性能にも影響します。^{[ 1 ]}

バイオ燃料電池は、陽極親菌（電気陰性細菌）の代謝プロセスを利用して、有機物からの化学エネルギーを電気エネルギーに変換します。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}バイオ燃料電池のメカニズムは、内部プロトン交換膜（PEM）で隔てられた陽極と陰極で構成され、外部負荷と外部回路で接続されています。陽極親菌は陽極上で増殖し、生分解性有機分子を消費して電子、プロトン、二酸化炭素ガスを生成し、電子が回路を通過する際に外部負荷に供給されます。^{[ 22 ] [ 23 ]}この用途におけるHRTは、供給分子が陽極室を通過する速度です。^{[ 23 ]}これは、陽極室の容積を供給溶液が室に流入する速度で割ることによって定量化できます。^{[ 22 ]}水力滞留時間（HRT）は、陽極親菌が消費する微生物の基質負荷速度に影響を与え、それが電気出力に影響を与えます。^{[ 23 ] [ 24 ]} HRTが長くなると、陽極室の基質負荷が減少し、栄養素が不足すると陽極親菌の個体数と性能が低下する可能性があります。^{[ 23 ]} HRTが短くなると、非外生発電細菌の発達が促進され、陽極親菌が資源をめぐって競合したり、栄養素を効果的に分解するのに十分な時間がない場合は、燃料電池のクーロン効率と電気化学的性能が低下する可能性があります。^{[ 23 ]}