連続撹拌タンク反応器

連続撹拌タンク反応器( CSTR )は、バットまたはバックミックス反応器、混合フロー反応器( MFR )、または連続フロー撹拌タンク反応器( CFSTR )とも呼ばれ、化学工学および環境工学における化学反応器の一般的なモデルです。 CSTR は、連続撹拌タンク反応器を使用して指定された出力に到達するときに、主要なユニット操作変数を推定するために使用されるモデルを指すことがよくあります。 この数学モデルは、液体、気体、スラリーなど、すべての流体に有効です。

CSTR の動作は、多くの場合、完全な混合を前提とする理想的な CSTR の動作で近似またはモデル化されます。完全に混合されたリアクターでは、試薬は流入するとすぐにリアクター全体に均一に混合されます。その結果、出力の組成は、滞留時間と反応速度の関数であるリアクター内の材料の組成と同一になります。CSTR は、リアクター設計における完全な混合の理想的な限界であり、プラグフローリアクター(PFR) とはまったく逆です。実際には、理想的な動作をするリアクターはなく、理想的な CSTR と PFR の混合限界の間のどこかに収まります。

非保存化学反応物Aを含む連続流体の流れが、体積Vの理想的な CSTR に入ります。

前提:

• 完璧な、あるいは理想的な混合
• 定常状態 、ここでN _Aは種Aのモル数である${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {dN_{A}}{dt}}=0{\Bigr )}}$
• 閉じた境界
• 一定の流体密度（ほとんどの液体に有効。モル数の正味の変化や急激な温度変化がない場合のみ気体に有効）
• n^次反応（r = kC _A ⁿ）、ここでkは反応速度定数、C _Aは種Aの濃度、nは反応次数である。
• 等温条件、または一定温度（kは一定）
• 単一の不可逆反応（ν _A = −1）
• すべての反応物Aは化学反応によって生成物に変換される
• N _A = C _A V

体積Vの反応器内の種Aのモル数N _Aに関する積分質量バランス:${\displaystyle 1.[{\text{Aの純蓄積}}~A]=[A~{\text{入力}}]-[A~{\text{出力}}]+[{\text{Aの純生成}}~A]}$

${\displaystyle 2.{\frac {dN_{A}}{dt}}=F_{Ao}-F_{A}+V\nu _{A}r_{A}}$^[1]

どこ

• F _Aoは種Aのモル流量入口である。
• F _{A は種}Aのモル流量出口である。
• v _Aは化学量論係数である
• r _{A は}反応速度である

定常状態とν _A = −1 の仮定を適用すると、式2は次のように簡略化されます。

${\displaystyle 3.\ 0=F_{Ao}-F_{A}-Vr_{A}}$

種Aのモル流量は、Aの濃度と流体の流量（Q ）で書き直すことができます。

${\displaystyle 4.\ 0=QC_{Ao}-QC_{A}-Vr_{A}}$^[2]

式4はr _Aを分離するように変形され、簡略化されます。

${\displaystyle 5.\ r_{A}={\frac {Q}{V}}(C_{Ao}-C_{A})}$^[2]

${\displaystyle 6.\ r_{A}={\frac {1}{\tau }}(C_{Ao}-C_{A})}$

どこ

• ${\displaystyle \tau}$は理論的な滞留時間（）である。${\displaystyle \tau ={\tfrac {V}{Q}}}$
• C _Aoは種Aの入口濃度である
• C _Aは種Aの反応器/出口濃度である

滞留時間とは、反応器内で反応剤の個別量が費やす合計時間です。理想的な反応器の場合、理論上の滞留時間は常に反応器の容積を流体の流量で割った値に等しくなります。^[2] CSTRの滞留時間分布に関するより詳細な説明については、次のセクションを参照してください。 ${\displaystyle \tau}$

反応の次数に応じて、反応速度r _Aは一般に、反応器内の種Aの濃度と速度定数に依存します。CSTRをモデル化する際の主要な前提は、流体内の反応物が反応器内で完全に（つまり均一に）混合され、反応器内の濃度が出口ストリームで同じであることです。^{[3]速度定数は、}アレニウス温度依存性を使用して温度に合わせて調整された既知の経験的反応速度を使用して決定できます。^[2]一般に、温度が上昇すると、反応が起こる速度も上昇します。

式 6 は、適切な速度式を代入した後、積分によって解くことができます。次の表は、理想的な CSTR の種Aの出口濃度をまとめたものです。出口濃度と滞留時間の値は、産業用途の CSTR の設計における主要な設計基準です。

理想的な CSTR は、反応器の滞留時間分布、または出口年齢分布によって特徴付けられる、明確に定義された流動挙動を示します。 ^[4]すべての流体粒子が反応器内で同じ時間を過ごすわけではありません。出口年齢分布 (E(t)) は、特定の流体粒子が反応器内で時間 t を過ごす確率を定義します。同様に、累積年齢分布 (F(t)) は、特定の流体粒子の出口年齢が時間 t 未満になる確率を示します。^[3]出口年齢分布から得られる重要なポイントの 1 つは、非常に少数の流体粒子が CSTR から決して出ないということです。^[5]反応器の用途によっては、これが長所にも短所にもなり得ます。

理想的なCSTRモデルは化学プロセスや生物プロセス中の成分の運命を予測するのに有用ですが、現実にはCSTRが理想的な挙動を示すことはめったにありません。^[2]より一般的には、反応器の水力学が理想的に動作しないか、システム条件が初期の仮定に従わないことがあります。完全な混合は理論上の概念であり、実際には達成できません。^[6]ただし、工学的な目的では、滞留時間が混合時間の5～10倍であれば、完全な混合の仮定は一般的に当てはまります。

非理想的な水力学的挙動は、一般的にデッドスペースまたは短絡のいずれかに分類されます。これらの現象は、一部の流体が理論的な滞留時間よりも短い時間を反応器内で過ごす場合に発生します。反応器にコーナーまたはバッフルが存在すると、流体が十分に混合されていないデッドスペースが発生することがよくあります。^[6]同様に、反応器内の流体のジェットによって短絡が発生する可能性があり、この場合、流れの一部はバルク流体よりもはるかに速く反応器から出ます。CSTR でデッドスペースまたは短絡が発生すると、流体が反応器から出る前に、関連する化学反応または生物学的反応が終了しない可能性があります。^[2]理想的な流れからの逸脱は、右に示すように、理想的な分布とは異なる滞留時間分布をもたらします。 ${\displaystyle \tau}$

理想フローリアクターは実際にはめったに見られませんが、非理想フローリアクターをモデル化するための便利なツールです。リアクターを、直列または並列の理想 CSTR とプラグフローリアクター(PFR) の組み合わせとしてモデル化することで、あらゆるフロー状態を実現できます。 ^[6]たとえば、無限に並んだ理想 CSTR は、水力学的には理想 PFR と同等です。^[2]多数の CSTR を直列に組み合わせたリアクターモデルは、しばしばタンクインシリーズ (TIS) モデルと呼ばれます。^[7]

一定温度と単一反応の仮定に従わないシステムをモデル化するには、追加の従属変数を考慮する必要があります。システムが非定常状態にあると考えられる場合、微分方程式または連立微分方程式系を解く必要があります。CSTR 動作の偏差は、分散モデルによって考慮できます。CSTR は、定常状態の多重性、リミ​​ット サイクル、カオスなどの複雑な動作を示すシステムの 1 つとして知られています。

CSTRのカスケード（CSTRシリーズとも呼ばれる）は、システムの容積を減らすために使用されます。^[8]

1 つの CSTR のグラフに見られるように、逆速度が分数変換の関数としてプロットされており、ボックス内の面積は に等しく、ここで V は総反応器容積、 は供給物のモル流量です。3 つの CSTR のグラフに見られるように、同じプロセスを CSTR のカスケードに適用すると、各反応器の容積は各入口および出口分数変換から計算されるため、総反応器容積が減少します。最適なサイズは、以前は単一の CSTR で覆われていた直列の CSTR の長方形の上部の領域が最大化されたときに実現されます。2 つの CSTR による一次反応では、等しい容積を使用する必要があります。理想的な CSTR の数 (n) が無限大に近づくにつれて、同じ反応および分数変換の リアクターの総容積は理想的なPFRの容積に近づきます。${\displaystyle {\frac {V}{F_{Ao}}}}$${\displaystyle F_{Ao}}$

単一の CSTR の設計方程式 から、直列に接続された単一の CSTR については、 が反応器の空間時間、が A の供給濃度、が A の出口濃度、 がA の 反応速度であると判断できます。${\displaystyle \tau ={\frac {C_{Ao}-C_{A}}{-r_{A}}}}$${\displaystyle \tau _{i}={\frac {C_{A(i-1)}-C_{Ai}}{-r_{Ai}}}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle C_{Ao}}$${\displaystyle C_{A}}$${\displaystyle -r_{A}}$

定常状態で動作する同一のCSTRのカスケードにおける等温一次定密度反応の場合

1つのCSTRの場合: 、ここでkは速度定数、は最初のCSTRからのAの出口濃度です。 ${\displaystyle C_{A1}={\frac {C_{Ao}}{1+k\tau }}}$${\displaystyle C_{A1}}$

2つのCSTR: および${\displaystyle C_{A1}={\frac {C_{Ao}}{1+k\tau }}}$${\displaystyle C_{A2}={\frac {C_{A1}}{1+k\tau }}}$

最初の CSTR 方程式を 2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle C_{A2}={\frac {C_{Ao}}{(1+k\tau )^{2}}}}$

したがって、直列に接続された m 個の同一の CSTR の場合、次のようになります。 ${\displaystyle C_{Am}={\frac {C_{Ao}}{(1+k\tau )^{m}}}}$

直列に接続された個々の CSTR の容量が変化する場合でも、CSTR が同じ温度で実行される限り、CSTR の順序によって一次反応の全体的な変換は変化しません。

定常状態では、 CSTRカスケードにおける等温ゼロ次反応の一般式は次のように表される。${\displaystyle C_{Am}=C_{Ao}-\sum _{i=1}^{m}k_{i}\tau _{i}}$

同一の反応器を持つCSTRカスケードが等温である場合、濃度は次のように表される。${\displaystyle C_{Am}=C_{Ao}-mk_{i}\tau _{i}}$

連続CSTRにおける定常状態の等温二次反応の場合、一般的な設計方程式は次のようになる。${\displaystyle C_{Ai}={\frac {-1+{\sqrt {1+4k_{i}\tau _{i}C_{A(i-1)}}}}{2k_{i}\tau _{i}}}}$

非理想的な反応器では、滞留時間分布を計算することができます。直列のj番目の反応器での濃度は次のように与えられます。

${\displaystyle {\frac {C_{j}}{C_{o}}}=1-e^{-{\frac {nt}{\bar {t}}}}[1+{\frac {nt}{\bar {t}}}+{\frac {1}{2!}}({\frac {nt}{\bar {t}}})^{2}+...+{\frac {1}{(j-1)!}}({\frac {nt}{\bar {t}}})^{j-1}]}$

ここで、n は直列に接続された CSTR の総数、はカスケードの平均滞留時間で、 Q は体積流量です。 ${\displaystyle {\bar {t}}}$${\displaystyle {\bar {t}}={\frac {V}{Q}}}$

これから、累積滞留時間分布（F(t)）は次のように計算できる。

${\displaystyle F(t)={\frac {C_{n}}{C_{o}}}=1-e^{-{\frac {nt}{\bar {t}}}}[1+{\frac {nt}{\bar {t}}}+{\frac {1}{2!}}({\frac {nt}{\bar {t}}})^{2}+...+{\frac {1}{(n-1)!}}({\frac {nt}{\bar {t}}})^{n-1}]}$

n → ∞ になると、F(t) は理想的な PFR 応答に近づきます。CSTRのカスケードへのパルス刺激の F(t) に関連する分散は です。 ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}={\frac {{\bar {t}}^{2}}{n}}}$

一連の CSTR のコストを決定する際は、資本コストと運用コストを考慮する必要があります。前述のように、直列の CSTR の数が増えると、リアクターの総容量が減少します。コストは容量に比例するため、CSTR の数を増やすと資本コストが下がります。コスト (つまり容量) が最も減少するのは、単一の CSTR と直列の 2 つの CSTR の間です。運用コストを考慮すると、運用コストは、大規模なカスケードに伴うポンプと制御、建設、設置、および保守の数に比例します。したがって、CSTR の数が増えると、運用コストが増加します。したがって、CSTR のカスケードに関連する最小コストがあります。

ゼロ次反応を実行する同一の等温 CSTR について与えられた方程式を変形すると、各 CSTR の容積は で増減します。したがって、ゼロ次反応の場合、総反応器容積は CSTR の数に依存しません。したがって、コストはゼロ次反応の反応器の数の関数ではなく、CSTR の数が増えても減少しません。 ${\displaystyle \tau ={\frac {C_{Ao}-C_{Am}}{mk}}}$${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$

並列反応を検討する場合、CSTR のカスケードを利用することで、目的の生成物に対する 選択性を高めることができます。

与えられた並列反応および（それぞれ定数および）および速度方程式および について 、 で割ることで 2 つの関係式を得ることができます。したがって です。 および B が目的の生成物である場合、の濃度を最大化するために の新鮮な二次供給を伴う CSTR のカスケードが有利になります。 ${\displaystyle {\ce {A -> B}}}$${\displaystyle {\ce {A -> C}}}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]^{n_{1}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]^{n_{2}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{d[{\ce {C}}]}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}[{\ce {A}}]^{n_{1}-n_{2}}}$${\displaystyle n_{1}>n_{2}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$

定数とを持つ、およびのような2つ以上の反応物による並行反応では、反応速度式 とを それぞれで割ることで、2つの関係式を得ることができます。したがって です。およびおよびBが目的の生成物である場合、高濃度の入口流と のCSTRカスケードが有利です。およびおよびBが目的の生成物である場合、高濃度の供給流と の小さな二次流を持つCSTRカスケードが有利です。^[9]${\displaystyle {\ce {A + D -> B}}}$${\displaystyle {\ce {A + D -> C}}}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]^{n_{1}}[{\ce {D}}]^{m_{1}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]^{n_{2}}[{\ce {D}}]^{m_{1}2}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{d[{\ce {C}}]}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}[{\ce {A}}]^{n_{1}-n_{2}}[{\ce {D}}]^{m_{1}-m_{2}}}$${\displaystyle n_{1}>n_{2}}$${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$${\displaystyle {\ce {[A]}}}$${\displaystyle {\ce {[D]}}}$${\displaystyle n_{1}>n_{2}}$${\displaystyle m_{1}<m_{2}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {D}}}$

などの直列反応も、との間に選択性がありますが、 CSTR からの逆混合が に有利であるため、目的の生成物が である場合、CSTR は一般に選択されません。通常、これらの反応には バッチ反応器またはPFRが選択されます。${\displaystyle {\ce {A -> B -> C}}}$${\displaystyle {\ce {B}}}$${\displaystyle {\ce {C}}}$${\displaystyle {\ce {B}}}$${\displaystyle {\ce {C}}}$

CSTR は、混合により試薬を急速に希釈します。したがって、非ゼロ次反応の場合、反応器内の試薬濃度が低いため、CSTR は同じ滞留時間を持つ PFR と比較して試薬を除去する効率が低くなります。^[3]したがって、CSTR は通常 PFR よりも大きく、スペースが限られているアプリケーションでは課題となる可能性があります。ただし、CSTR での希釈の追加の利点の 1 つは、システムへのショックを中和できることです。PFR とは対照的に、CSTR のパフォーマンスは流入成分の変化の影響を受けにくいため、さまざまな産業アプリケーションに最適です。

• 廃水処理のための活性汚泥法^[2]
• 自然排水処理のためのラグーン処理システム^[2]
• 廃水バイオソリッドの安定化のための嫌気性消化槽^[10]
• 汚水および雨水流出水の処理湿地^[11]

• 医薬品製造用ループリアクター^[12]

• 発酵^[12]
• バイオガス生産

• 層流反応器
• マイクロリアクター
• 振動バッフル付きリアクター
• プラグフローリアクターモデル