アーノルドの猫の地図

数学において、アーノルドの猫マップは、トーラスからトーラス自身へのカオス的なマップであり、1960年代に猫の画像を使ってその効果を実証したウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられました。^{[ 1 ]}これは、双曲トーラス自己同型写像​​の単純で教育的な例です。

トーラスについて考える$\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$商空間として${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$アーノルドの猫マップは変換です${\displaystyle \Gamma$ :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}} は、 次の式で与えられます。

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

同様に、行列表記では、これは

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

つまり、正方形画像の幅に等しい単位を加えると、画像は1単位上にせん断され、次に2単位右にせん断され、その単位正方形の外側にあるものはすべて、正方形の内側に入るまで単位だけ後方にシフトされる。

この地図の名前は、アーノルドがアンドレ・アヴェズと共著した1967年の原稿『古典力学のエルゴード的問題』 [ ^{1 ]に}由来しており、その原稿では、トーラス上での地図の作用を説明するために猫の輪郭が使用されていた。元の本では、ユーモラスな脚注が付けられていた。

動物保護協会は、この画像を含む複数の画像の複製を許可しています。

アーノルドの母国語であるロシア語では、この地図は「猫のオクロシカ（冷たいスープ）」（ロシア語：окрошка из кошки）として知られており、これは地図の混合特性に由来し、言葉遊びにもなっている。アーノルドは後に、英語や他の言語でこの地図が知られている「アーノルドの猫」という名前を「奇妙だ」と感じたと書いている。^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle \Gamma }$行列の行列式が1 であるため、逆行列は整数要素を持つため、可逆行列です。
• ${\displaystyle \Gamma }$面積保存型、
• ${\displaystyle \Gamma }$双曲型固定点（正方形の頂点）が一意に存在します。写像を定義する線形変換は双曲型です。その固有値は無理数であり、一方は1より大きく、もう一方は1より小さい（絶対値）ため、それぞれ拡大する固有空間と縮小する固有空間に対応し、これらは安定多様体と不安定多様体でもあります。行列が対称であるため、固有空間は直交します。固有ベクトルは有理的に独立な成分を持つため、両方の固有空間がトーラスを密に覆います。アーノルドの猫写像は、双曲型トーラス自己同型写像​​の特に有名な例であり、これは絶対値が1の固有値を持たない正方ユニモジュラー行列によって与えられるトーラスの自己同型写像​​です。 ^{[ 3 ]}
• 周期軌道を持つ点の集合は、トーラス上で稠密である。実際、点が周期的であるのは、その座標が有理数である場合に限る。
• ${\displaystyle \Gamma }$位相的に推移的である（つまり、軌道が稠密な点が存在する）。
• 周期を持つ点の数${\displaystyle n}$まさに${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$（どこ${\displaystyle \lambda _{1}}$そして${\displaystyle \lambda _{2}}$は行列の固有値です。たとえば、この数列の最初の数項は 1、5、16、45、121、320、841、2205 .... ^{[ 4 ]}です。（固有値を置き換えれば、任意のユニモジュラー双曲トーラス自己同型に対しても同じ式が成り立ちます。）
• ${\displaystyle \Gamma }$エルゴード的かつ混合的である、
• ${\displaystyle \Gamma }$これはアノソフ微分同相写像であり、特に構造的に安定である。
• マッピングトーラス${\displaystyle \Gamma }$これは可解多様体であり、他のアノソフ微分同相写像と同様に、この多様体は可解幾何学を持つ。

It is possible to define a discrete analogue of the cat map. One of this map's features is that image being apparently randomized by the transformation but returning to its original state after a number of steps. As can be seen in the adjacent picture, the original image of the cat is sheared and then wrapped around in the first iteration of the transformation. After some iterations, the resulting image appears rather random or disordered, yet after further iterations the image appears to have further order—ghost-like images of the cat, multiple smaller copies arranged in a repeating structure and even upside-down copies of the original image—and ultimately returns to the original image.

The discrete cat map describes the phase space flow corresponding to the discrete dynamics of a bead hopping from site ${\displaystyle q_{t}}$(${\displaystyle 0\leq q_{t}<N}$) to site ${\displaystyle q_{t+1}}$ on a circular ring with circumference ${\displaystyle N}$, according to the second order equation:

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Defining the momentum variable ${\displaystyle p_{t}=q_{t}-q_{t-1}}$, the above second order dynamics can be re-written as a mapping of the square ${\displaystyle 0\leq q,p<N}$ (the phase space of the discrete dynamical system) onto itself:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

This Arnold cat mapping shows mixing behavior typical for chaotic systems. However, since the transformation has a determinant equal to unity, it is area-preserving and therefore invertible, the inverse transformation being:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

For real variables ${\displaystyle q}$ and ${\displaystyle p}$, it is common to set ${\displaystyle N=1}$. In that case a mapping of the unit square with periodic boundary conditions onto itself results.

When ${\displaystyle N}$ is set to an integer value, the position and momentum variables can be restricted to integers and the mapping becomes a mapping of a toroidial square grid of points onto itself. Such an integer cat map is commonly used to demonstrate mixing behavior with Poincaré recurrence utilising digital images. The number of iterations needed to restore the image can be shown never to exceed ${\displaystyle 3N}$.^[5]

For an image, the relationship between iterations could be expressed as follows:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

• カオスマップ一覧
• 再帰プロット

• ワイススタイン、エリック W. 「アーノルドの猫の地図」 . MathWorld .
• 初期条件のランダム化が再発時間に及ぼす影響
• エンリケ・ゼレニーによるアーノルドの猫マップ、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
• アーノルドの猫マップ：インタラクティブなグラフィック探検