合理的な依存

数学において、実数の集合は、その集合内のどの数も、他の数の有理係数による線形結合として表すことができない場合、有理的に独立である と言います。有理的に独立でない数の集合は、有理的に従属であると言います。例えば、次の例があります。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{独立}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {3,\quad {\sqrt {8}}\quad } ,1+{\sqrt {2}}} \\{\mbox{従属}}\\\end{matrix}}}$

なぜなら、もし私たちが${\displaystyle x=3,y={\sqrt {8}}}$、 それから${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}={\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{2}}y}$。

実数ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _nは、すべてがゼロではない整数k ₁ , k ₂ , ... , k _nが存在し、

${\displaystyle k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0.}$

このような整数が存在しない場合、ベクトルは有理的に独立であると言われます。この条件は次のように再定式化できます。ω ₁、ω ₂、... 、ω _nは、 n個の整数の組k ₁、k ₂、... 、k _nが有理的に独立である場合、

${\displaystyle k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0}$

これは、すべてのk _iがゼロとなる自明な解です。

実数は有理数上のベクトル空間を形成し、これはこのベクトル空間における線形独立性の通常の定義と同等である。

• ベイカーの定理
• デーン不変量
• ゲルフォンド・シュナイダーの定理
• ハメル基礎
• ホッジ予想
• リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
• トーラス上の線形流
• シャヌエルの推測

• アナトール・カトク、ボリス・ハッセルブラット（1996）。現代力学系理論入門。ケンブリッジ。ISBN 0-521-57557-5。