等積投影法

地図作成において、等面積投影法、等積投影法、または等積投影法とは、地図上のあらゆる領域間の相対的な面積比を維持する地図投影法のことである。等面積投影法は、人口分布、農地分布、森林面積など、様々な状況の分布を示す主題図に広く用いられている。これは、等積地図では、地図化される現象の見かけ上の密度が変化しないためである。

ガウスの驚異の定理によれば、等積投影は等角投影にはなり得ません。これは、等積投影が必然的に形状を歪ませることを意味します。地図上の点や経路には歪みがないように見えるかもしれませんが、マッピングされる領域の面積が大きくなるほど、形状の歪みは必然的に大きくなり、より顕著になります。

球面の地図投影が等面積であるためには、その生成式がコーシー・リーマンのような条件を満たさなければならない。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi }$$ どこ${\displaystyle s}$マップ全体で一定です。ここでは、${\displaystyle \varphi }$緯度を表します。${\displaystyle \lambda }$経度を表します。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は、与えられた座標の投影（平面）座標です。${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$座標ペア。

例えば、正弦曲線投影は非常に単純な等面積投影法です。その生成式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\cdot \lambda \cos \varphi \\y&=R\cdot \varphi \end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle R}$は地球の半径です。偏微分を計算すると、 $${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi ,\quad {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=R\cdot \cos \varphi ,\quad {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=R,\quad {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=0}$$ など $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=R\cdot R\cdot \cos \varphi -0\cdot (-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi )=R^{2}\cdot \cos \varphi =s\cdot \cos \varphi }$$ と${\displaystyle s}$定数の値を取る${\displaystyle R^{2}}$。

楕円体の等面積マップの場合、満たさなければならない対応する微分条件は次のとおりです。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle e}$これは回転楕円体の離心率です。

面積を維持する投影法の例をいくつか挙げます。

• 方位角
  • ランベルト方位角等面積
  • ヴィーヒェル（擬似方位角）

• 

  円錐形
  • アルバース
  • ランベルト正積円錐図法

• 

  擬円錐形
  • ボンヌ
  • ボトムリー
  • ヴェルナー

• 

  円筒形（歪みのない許容範囲）
  • ランベルト円筒等面積（0°）
  • ベールマン（30°）
  • ホーボー・ダイヤー（37°30′）
  • ガル・ピーターズ（45度）

• 

  擬円筒形
  • ボッグス・ユーモルフィック
  • コリニョン
  • エッカートII、IV、VI
  • 平等な地球
  • グッドのホモロシン
  • モルワイデ
  • 正弦波
  • トブラー超楕円形
• 他の
  • エッカート＝グライフエンドルフ
  • マクブライド・トーマス平面極座標四次投影^{[ 6 ]}
  • ハンマー
  • シュトレーベ 1995
  • スナイダー等積投影法は、測地線グリッドに使用されます。

• オーサリック緯度
• オータリック半径
• 等面積図（数学）
• 測度保存力学系
• 測地多角形領域