トライアド法

TRIAD法は、宇宙船の姿勢を決定するための最も古い公開されたアルゴリズムであり、1964年にハロルド・ブラックによって初めて導入されました。^{[1] [2] [3]}衛星の基準座標と本体座標の2つのベクトルがわかっている場合、TRIADアルゴリズムは両方のフレームに関連する方向余弦行列を取得します。ハロルド・ブラックは、ジョンズホプキンス応用物理研究所で米国海軍のトランジット衛星システムの誘導、ナビゲーション、制御の開発に重要な役割を果たしました。TRIADは、ワバの問題^[4]とそのいくつかの最適解が登場する前の宇宙船の姿勢決定の実践状態を表しています。ブラックの解の共分散分析は、その後マークリーによって提供されました。^[5]

まず、線形独立な参照ベクトルとを考える。を、物体固定参照フレームで分解された参照単位ベクトルの対応する測定方向とする。その後、それらは次の式で関連付けられる。 ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {R}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {r}}_{1}、{\vec {r}}_{2}}$

に対して、 は回転行列（時には真直交行列とも呼ばれる、つまり）です。は、ボディ固定フレームのベクトルを参照ベクトルのフレームに変換します。 他の特性の中でも、回転行列は、操作するベクトルの長さを保存します。 方向余弦行列は、次のように表される外積ベクトルも変換することに注意してください。 ${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{T}A=I,det(A)=+1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

TRIADは、次式で与えられる線形システム方程式の解として 方向余弦行列の推定値を提案する。${\displaystyle A}$

ここで、異なる列ベクトルを分離するために使用されています。 ${\displaystyle \vdots }$

上記の解決策は、ノイズのない場合にはうまく機能します。しかし、実際には、はノイズが多く、姿勢行列（または方向余弦行列）の直交条件は上記の手順では維持されません。TRIAD は、この問題を解決するために次の洗練された手順を組み込んでいます。この目的のために、単位ベクトルを定義します。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}}$

そして

式（ 3 ）の最初の2つの列の代わりに使用される。それらの外積は線形方程式の3番目の列として使用され、次のように与えられる宇宙船の姿勢に対する適切な直交行列を得る。

式（ 4）～（7 ）の正規化は必ずしも必要ではないが、式（ 8 ）の線形連立方程式を解く際の計算上の利点を得るために正規化が行われている。したがって、宇宙船の姿勢の推定値は、適切な直交行列によって次のように与えられる。

この手順では、逆行列を転置行列に置き換えることで計算効率が向上していることに注意してください。これが可能なのは、姿勢の計算に関係する行列がそれぞれ正規直交基底ベクトルの TRIAD で構成されているからです。「TRIAD」という名前はこの観察に由来しています。

TRIAD法は、推定プロセスで使用される参照ベクトルと実体ベクトルの利き手に関係なく、常に適切な直交行列を生成することに留意する必要がある。これは次のように示される。与えられた行列形式では、

ここで 、 および の列が左巻きTRIADを形成する場合、ベクトル間の1対1の対応により、 の列も左巻きになることに注意してください。これは、ユークリッド幾何学では、任意の2つのベクトル間の角度は座標変換に対して不変であるという単純な事実によるものです。したがって、行列式は、その列が右巻きか左巻きかによってそれぞれまたはになります（同様に ）。式（ 10 ）の関係の両辺に行列式を取ると、次の結論が導き出されます。 ${\displaystyle \Gamma :=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]}$${\displaystyle \Delta =\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right].}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle det\left(\Gamma \right)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \Delta =\pm 1}$

これは、参照ベクトル量と測定ベクトル量の性質に関係なく、常に適切な直交行列がアナリストに保証されるため、実際のアプリケーションでは非常に便利です。

TRIAD は、トランジット衛星システム (米国海軍がナビゲーションに使用) からのテレメトリ データを処理する姿勢決定技術として使用されました。トランジット システムの原理から、全地球測位システムの衛星群が生まれました。応用問題では、基準ベクトルは通常、既知の方向です (例: 星、地球の磁場、重力ベクトルなど)。ボディ固定ベクトルは、オンボード センサー (例: スタートラッカー、磁力計など) によって観測された測定方向です。マイクロエレクトロニクスの進歩により、TRIAD などの姿勢決定アルゴリズムは、さまざまなデバイス (例: スマートフォン、自動車、タブレット、UAV など) に採用され、現代社会に幅広い影響を与えています。

• 姿勢力学と制御
• 方向（ジオメトリ）
• ワバの問題