背景 エルステッドの実験を示すコンパスとワイヤー装置[ 5 ] 19 世紀初頭まで、電気 と磁気は 完全に別々の現象だと考えられていました。[ 6 ] ハンス・クリスチャン・エルステッドが 電流が磁気効果を生み出すことを発見したことで変わりました。彼は電流が流れる導線の近くに置かれた方位磁針が導線に垂直になるように偏向することを観察しました。 [ 7 ] [ 8 ] [ 6 ]
エルステッドの発見は、電気と磁気の関係に関する多くの研究を促しました。 アンドレ＝マリー・アンペールは 、電流が流れる2本の導線間の磁力を調査し、アンペールの力の法則 を発見しました。1850年代、スコットランドの数理物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、 これらの結果などを一般化して、単一の数学法則にまとめました。マクスウェルの周回法則の原形は、彼が1854年にウィリアム・トムソン （後にケルビン卿として貴族に叙せられる）との書簡で議論し、1855年の論文「ファラデーの力線について」[ 9 ] [ 10 ]
元の回路法則は、磁場とそれを生成する 電流 との関係を示し、特定の電流に関連する磁場、または特定の磁場に関連する電流を決定するために使用できます。ただし、これは閉回路を流れる定常的で連続的な電流を含む静磁気的な状況にのみ適用されます。電場が時間とともに変化するシステムでは、元の法則（このセクションで示されているもの）にマックスウェル補正と呼ばれる項を追加して修正する必要があります（下記参照）。
元の周回法則はいくつかの異なる形式で記述できますが、それらはすべて最終的には同等です。
「積分形式」と「微分形式」。これらの形式は完全に等価であり、ケルビン・ストークスの定理 によって関連付けられています（下記の「証明 」の項を参照）。 SI単位系 を用いた形式と、CGS単位系 を用いた形式があります。その他の単位系も使用可能ですが、まれです。このセクションではSI単位系を使用し、CGS単位系については後ほど説明します。B H H の 構成方程式 B = μ 0 H 、 μ 0 は磁気定数 です。
説明 元の周回法則の積分形式は、ある閉曲線 C (任意だが閉じていなければならない) の周りの 磁場 の線積分 である。曲線C は、電流が 通過する表面 S (これも任意だが閉じていない。なぜなら、 S によって囲まれる3 次元の 体積 はないからである) と電流の両方を囲む。法則の数学的表現は、その囲まれた経路 (表面積分) を通過する電流による、ある経路の周りの磁場の循環 (線積分)の関係である。 [ 11 ] [ 12 ]
全電流 （自由電流と束縛電流の合計）に関して言えば、閉曲線Cの周りの 磁場B の線積分（テスラ、T 単位 ）は、表面S （C で囲まれた部分）を通過する全電流I enc Cの周りの 磁場 H の 線積分（アンペア 毎メートル 、A·m −1 単位）は、表面S を通過する自由電流I f,enc
J 電流密度 （アンペア 毎平方メートル 、A·m −2 ）です。J f ∮ C は閉曲線C の周りの閉線積分 です。∬ S は 曲線C で囲まれた曲面S上の 面積分 を表します。・ はベクトルの内積 です。d l は曲線Cの 微小 要素 (微分 )です(つまり、微小線要素の長さに等しい大きさを持ち、曲線C の接線によって方向が与えられるベクトルです)。d S は、曲面Sの 微小 要素のベクトル面積 です(つまり、微小曲面要素の面積に等しい大きさで、曲面S に垂直な方向を持つベクトルです。法線の方向は、右手の法則によりC の向きと一致しなければなりません)。曲線C と曲面S の詳細については、以下を参照してください。∇ ×は 回転 演算子です。
曖昧さと記号の慣例 右手の法則 を用いて磁場の方向を求める上記の定義にはいくつかの曖昧な点があり、明確化と慣例の選択が必要である。
まず、これらの用語のうち 3 つは符号の曖昧さを伴います。線積分∮ C は ループをどちらの方向にも回る可能性があり (時計回りまたは反時計回り)、ベクトル面積d S は 表面に垂直な 2 つの方向のいずれかを指す可能性があります。また、 I enc は S を通過する正味の電流であり、一方の方向に流れる電流からもう一方の方向に流れる電流を引いたものですが、どちらの方向も正として選択できます。これらの曖昧さは右手の法則 によって解決されます。右手の手のひらを積分領域に向け、人差し指を線積分の方向に向け、伸ばした親指がベクトル面積d S に対して選択しなければならない方向を指します。また、 d S と同じ方向に流れる電流は正として数えなければなりません。右手の握り法則は 符号を決定するためにも使用できます。 第二に、曲線Cを境界とする曲面 S は無限に存在します。（ワイヤー ループに石鹸膜を張ったものを想像してみてください。この膜に息を吹きかけると変形します。）これらの曲面のうち、どれを選択すればよいのでしょうか。例えば、ループが単一の平面上にない場合、明確な選択肢はありません。答えは、どれを選んでも問題ないということです。静磁場の場合、電流密度はソレノイド状に なります（次のセクションを参照）。したがって、発散定理 と連続の式から、同じ符号規約を持つ境界 C を持つ任意の曲面を通過する磁束は同じになります。実際には、通常は（与えられた境界を持つ）最も都合の良い曲面を選択して積分します。
自由電流と束縛電流 教科書に出てくるような最も単純な状況で発生する電流は「自由電流」に分類される。例えば、電線や電池を流れる電流などが挙げられる。一方、「束縛電流」は、 磁化 または分極 可能なバルク材料において発生する電流である。（すべての材料は、ある程度磁化または分極可能である。）
物質が磁化されると（例えば、外部磁場中に置くことによって）、電子はそれぞれの原子に束縛されたままですが、あたかも原子核の周りを特定の方向に軌道運動しているかのように振る舞い、微視的な電流を生み出します。これらの原子からの電流がすべて合わさると、磁化された物体の周囲を永久に循環する巨視的な電流と同じ効果を生み出します。この磁化電流 J M
束縛電流のもう1つの発生源は束縛電荷 です。電場が印加されると、分極可能な材料 では正と負の束縛電荷が原子距離を超えて分離し、束縛電荷が移動すると分極が変化し、「束縛電流」へのもう1つの寄与である分極電流J P
自由電荷と束縛電荷による全電流密度Jは次のようになる。
J = J f + J M + J P 、 {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}
ここで、Jf は
微視的に見れば、すべての電流は基本的に同じです。しかしながら、束縛電流を自由電流とは異なる方法で扱いたい実際的な理由がしばしば存在します。例えば、束縛電流は通常原子次元で発生するため、より大きな次元を対象としたより単純な理論を利用したい場合があります。その結果、Bと微視的電流（自由電流、磁化電流、分極電流を含む）で表される、より微視的なアンペールの周回積分法則は、 H 証明 」の項を参照してください。
周回法則に関して、より詳細な検討が必要な重要な問題が2つあります。まず、電荷の連続方程式に関する問題があります。ベクトル解析では、 回転の発散 に関する恒等式は、ベクトル場の回転の発散は常にゼロでなければならないことを示しています。したがって ∇ ⋅ （ ∇ × B ） = 0 、 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,} ∇ ⋅ J = 0 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,} ソレノイド状 であるということ。
しかし一般的に、現実世界は電荷の連続方程式 に従う。 ∇ ⋅ J = − ∂ ρ ∂ t 、 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,} [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]
第二に、電磁波の伝播に関する問題がある。例えば、自由空間 では、 J = 0 、 {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,} ∇ × B = 0 、 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,} 非回転で あるが、電荷の連続方程式 との整合性を保つためには、 ∇ × B = 1 c 2 ∂ E ∂ t 。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}
これらの状況（上記の式）を「解決」するには、変位電流 の寄与を回路法則の電流項に加える必要があります。
ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、 誘電体渦海の分極電流として変位電流を考案し、それを用いて磁場を流体力学的および力学的にモデル化した。[ 18 ] 変位電流をアンペールの周回法則に追加した。 [ 19 ]
変位電流 自由空間 では、変位電流は電場の時間変化率に関係する。
誘電体においても、変位電流への上記の寄与は存在するが、変位電流への主要な寄与は、誘電体材料の個々の分子の分極に関連している。電荷は誘電体中で自由に流れることはできないが、分子内の電荷は電場の影響下でわずかに移動することができる。印加された電場の下で分子内の正電荷と負電荷が分離し、分極状態が増加する。この分極状態は分極密度 P
変位電流への両方の寄与は、変位電流を次のように定義することによって結合されます。[ 13 ] J D = ∂ ∂ t D （ r 、 t ） 、 {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,} 電束密度場は 次のように定義される。 D = ε 0 E + P = ε 0 ε r E 、 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,} ε₀ は 率 、εr は 静電率 、P は分極密度 である。変位電流の式に この形式をDに代入すると、2つの成分が得られる。 J D = ε 0 ∂ E ∂ t + ∂ P ∂ t 。 {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}
右辺の最初の項は、真空中でもどこにでも存在します。電荷の実際の移動は伴いませんが、実際の電流であるかのように、関連する磁場があります。一部の著者は、この寄与のみに変位電流という名前を適用しています。 [ 20 ]
右辺の第２項は、マクスウェルが最初に提唱した変位電流であり、誘電体材料の個々の分子の分極に関連している。
マクスウェルによる変位電流の当初の説明は、誘電体媒体内で発生する状況に焦点を当てたものでした。現代のポストエーテル時代においては、この概念は物質媒体が存在しない状況、例えば充電中の真空コンデンサ の極板間の真空にも適用できるように拡張されています。変位電流は、電磁気理論のいくつかの要件を満たすため、今日では正当化されています。すなわち、自由電流が流れない領域における磁場の正確な予測、電磁場の波動伝播の予測、そして電荷密度が時間的に変化する場合の電荷保存則の維持です。詳細については、「変位電流」を 参照してください。
次に、分極電流を含めることで回路方程式を拡張し、それによって元の回路法則の適用範囲の制限を解消する。
自由電荷を束縛電荷とは別に扱うと、 H H J Mは 場 および注記 を 参照してください）：[ 21 ] ∮ C H ⋅ d l = ∬ S （ J f + ∂ D ∂ t ） ⋅ d S {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } H 磁場H 」、「磁場強度」、または単に「磁場」とも呼ばれる）、D 電束密度 、J f は囲まれた伝導電流または自由電流 密度である。微分形式では、 ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t 。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}
一方、すべての電荷を同じように扱う（束縛電荷か自由電荷かは関係なく）と、一般化されたアンペールの式（マクスウェル・アンペールの式とも呼ばれる）は積分形式になる（以下の「証明 」の項を参照）。
∮ C B ⋅ d l = ∬ S （ μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t ） ⋅ d S {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }
微分形式では、
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
どちらの形式においても、Jに は磁化電流 密度[ 22 ] J f + J D + J M = J f + J P + J M + ε 0 ∂ E ∂ t = J + ε 0 ∂ E ∂ t 、 {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,} J D は変位電流 であり、J ⋅ D = ρ であるため、アンペールの元の定式化における電荷連続性の問題はもはや問題ではありません。[ 23 ] ε 0 ∂ E / ∂ t
変位電流の概念を導入することで、マクスウェルは光が電磁波 の一種であるという仮説を（正しく）立てることができた。この重要な発見については、電磁波方程式を参照されたい。
cgs 単位系では、マクスウェル補正を含む方程式の積分形式は次のようになる。 ∮ C B ⋅ d l = 1 c ∬ S （ 4 π J + ∂ E ∂ t ） ⋅ d S 、 {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,} cは 光速 です。
この方程式の微分形式（ここでも、マクスウェル補正を含む）は次のようになる。 ∇ × B = 1 c （ 4 π J + ∂ E ∂ t ） 。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}
注記 ↑ Ltd、Palgrave Macmillan (2016年4月30 日 )。「アンペールの法則」。物理学辞典 。Springer。ISBN 978-1-349-66022-3 。 ↑ フライシュ、ダニエル（2008）。 『マクスウェル方程式入門 』ケンブリッジ大学出版局、 83ページ 。ISBN 9781139468473 。↑ ガルグ、アヌパム (2012). 『古典電磁気学の要点 』プリンストン大学出版局、 125ページ 。ISBN 9780691130187 。↑ カッツ、デボラ M. (2016). 科学者とエンジニアのための物理学：基礎と関連性、拡張版 . Cengage Learning. p. 1093. ISBN 9781337364300 。↑ 2015 年、マケドニア、スコピエの聖キュリル・メトディウス大学 物理学研究所の O. Zajkov によるプレゼンテーション。 1 2 ダリゴル、オリヴィエ (2003). アンペールからアインシュタインまでの電気力学 . オックスフォード：オックスフォード大学出版局. pp. 4–6 . ISBN 978-0-19-850593-8 。↑ エルステッド、HC（1820）。「電流が磁針に及ぼす影響に関する実験」。 哲学年報 。16 。 ロンドン：ボールドウィン、クラドック、ジョイ：273。 ↑ HAM Snelders、「エルステッドによる電磁気学の発見」 Cunningham , Andrew Cunningham; Nicholas Jardine (1990) 『ロマン主義と科学』 CUP Archive、p. 228。ISBN 0521356857 。 ↑ クラーク・マックスウェル、ジェームズ (1890)。 「ファラデーの力線について」 。ニューヨーク、ドーバー出版。 ↑ ダリゴル、オリヴィエ( 2003). アンペールからアインシュタインまでの電気力学 . オックスフォード：オックスフォード大学出版局. pp . 139–142、172–173 . ISBN 978-0-19-850593-8 。↑ Knoepfel, Heinz E. (2000). Magnetic Fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use . Wiley. p. 4. ISBN 0-471-32205-9 。↑ オーウェン、ジョージ・E. (2003). 電磁気理論 （1963年 版の復刻版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 213. ISBN 0-486-42830-3 。1 2ジャクソン 、 ジョン・デイビッド (1999). 古典電磁気学 (第 3 版). ワイリー. p. 238. ISBN 0-471-30932-X 。↑ グリフィス、デイビッド・J. (1999). 電磁気学入門 （第3 版）. ピアソン/アディソン・ウェスリー. pp. 322–323 . ISBN 0-13-805326-X 。↑ オーウェン、ジョージ E. (2003). 電磁気理論 . ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. p. 285. ISBN 0-486-42830-3 。↑ Billingham, J.; King, AC (2006). Wave Motion . Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-63450-4 。↑ スレーター、JC; フランク、NH (1969). 電磁気学 (1947年 版の復刻版). クーリエ・ドーバー出版. p. 83. ISBN 0-486-62263-0 。↑ シーゲル、ダニエル M. (2003). マクスウェルの電磁気理論における革新：分子渦、変位電流、および光 . ケンブリッジ大学出版局. pp. 96–98 . ISBN 0-521-53329-5 。↑ クラーク・マクスウェル、ジェームズ (1861)。 「物理的な力の線について」 (PDF) 。Philosophical Magazine and Journal of Science 。 ↑ 例えば、 Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 323. ISBN を 参照。 0-13-805326-X 。Tai L. Chow (2006). 電磁気理論入門 . Jones & Bartlett. p. 204. ISBN 0-7637-3827-1 。 ↑ Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics . CRC Press. p. 267. ISBN 1-58488-511-4 。↑ Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics . CRC Press. p. 251. ISBN 1-58488-511-4 。↑ 磁化電流は磁化の回転として表すことができるため、発散はゼロであり、連続の式には寄与しません。 磁化電流 を参照してください。
さらに読む グリフィス、デイビッド・J. (1998).電磁気学入門（第3版） . プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X 。 ティプラー、ポール（2004）。科学者と技術者のための物理学：電気、磁気、光、および初等現代物理学（第5版） 。WHフリーマン。ISBN 0-7167-0810-8 。
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある アンペールの法則に関連するメディア MISN-0-138 アンペールの法則 （ PDFファイル ）Kirby Morgan著、 Project PHYSNET向け。MISN-0-145 アンペール・マクスウェル方程式; 変位電流 (PDF ファイル) JS Kovacs 著、Project PHYSNET 用。電磁場の動力学的理論 マクスウェルの1864年の論文
ウィキメディア・コモンズにあるアンペールの法則に関連するメディア
