アルヴェーンの定理

アルヴェーンの定理は、磁束管や磁力線を用いて表現されることが多い。

磁束管とは、磁場を含む管状または円筒状の空間領域であり、その側面はすべて磁場に平行である。したがって、これらの側面を通過する磁束はゼロであり、管の長さに沿った断面には一定の等しい磁束が存在する。磁気レイノルズ数が大きい極限では、アルヴェーンの定理により、これらの一定磁束面は、それらが埋め込まれている流体とともに移動する。そのため、磁束管は流体中に凍結される。

2本の磁束管の側面が交わる点が磁力線を形成し、この曲線はあらゆる場所で磁場に平行である。磁束管が凍結している流体では、磁力線も凍結しているはずである。しかし、磁力線が凍結する条件は、磁束管が凍結する条件、あるいは同等に磁束保存則が成り立つ条件よりも弱い。^{[ 5 ]： 25}

理想的な磁気流体力学では、研究対象となる速度スケールおよび長さスケールにおいて、磁気誘導が磁気拡散よりも支配的である。したがって、支配的な誘導方程式における拡散項は誘導項に比べて小さいと仮定され、無視される。すると、誘導方程式は理想的な形式に簡略化される。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$

流体中に埋め込まれた物質表面を通過する磁束の保存は、ガウスの法則による磁気の理想的な誘導方程式と磁気単極子が存在しないという仮定から直接導かれる。^{[ 6 ] [ 7 ]}

空間と時間に依存する磁場Bと速度場vを持つ電気伝導性流体において、時刻tにおける任意の向きを持つ開面S _{1 は}、微小時間δ tの間に速度 vによって面S ₂へと移流される。このとき、面S _1からS ₂へ移流される際の磁束の変化率は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.}$

S ₂上の面積分は、S ₁、S _{2 、および}S ₁とS ₂の境界を結ぶ表面S ₃によって形成される閉曲面を通過する磁束がゼロであると仮定する磁気に関するガウスの法則を適用することによって再表現できます。時刻t + δ tにおいて、この関係は次のように表すことができます。

${\displaystyle 0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},}$

ここで、S ₁の向きが反転され、d S _{1が囲まれた体積から外側を向くようになっている。S} 3_上の面積分では、微小面積要素d S ₃ = d l × v δ tとなる。ここで、d lは表面S _1の境界∂ S ₁の周りの線要素である。次に、S ₂上の面積分を解くと、次のようになる。

${\displaystyle \iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,}$

ここで、最後の項はスカラー三重積の性質を用いて書き換えられ、一次近似が取られた。これをD Φ _B / Dtの式に代入して簡略化すると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}}$

第一項の被積分関数に偏微分の定義を適用し、第二項にストークスの定理を適用し、結果として得られる面積分を組み合わせると、

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.}$

理想的な誘導方程式を用いると、被積分関数は消滅し、

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.}$

磁力線の保存は、理想的な誘導方程式、磁気に関するガウスの法則、および質量の連続方程式を使用して数学的に導出することもできます。^{[ 5 ]}

理想的な誘導方程式は、ベクトル恒等式とガウスの磁気法則を用いて次のように書き換えることができる。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} )。$

質量保存の法則を用いて、

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$

理想誘導方程式はさらに変形して、

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .}$

同様に、線分δ lにおいて、vは一方の端でのバルクプラズマ速度であり、v + δ vはもう一方の端での速度であるが、両端間の速度差はδ v = ( δ l ⋅ ∇ ) vであり、

${\displaystyle {\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$、

これは、以前に得られたB / ρの式と同じ形式です。したがって、δ lとBが最初に平行であれば、それらは平行のままになります。

磁束保存則は磁力線保存則を意味するが（「磁束管と磁力線」の項 を参照）、磁力線保存則の条件は磁束保存則の条件よりも緩い。磁束保存則の条件とは異なり、磁力線保存則の条件は、理想的な誘導方程式に磁場に平行な追加のソース項が存在する場合に満たされる。

数学的に、磁力線が凍結するためには、流体は以下の条件を満たす必要がある。

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,}$

一方、流量が保存されるためには、流体は理想誘導方程式によって課されるより強い条件を満たさなければならない。^{[ 8 ] [ 9 ]}

ケルビンの循環定理によれば、理想流体とともに移動する渦管は流体に凍結する。これは、完全導電性の理想MHD流体とともに移動する磁束管が流体に凍結するのと同様である。理想誘導方程式は、理想流体における渦度ω = ∇ × vの式と同じ形式をとる。ここでvは速度場である。

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).}$

しかし、誘導方程式は線形であるのに対し、渦度方程式では∇ × vとvの間に非線形関係がある。 ^{[ 9 ]}