アレクシス・クレロー

クレローはフランスのパリで、ジャン＝バティストとカトリーヌ・プティ・クレローの間に生まれた。夫妻には20人の子供がいたが、出産を生き延びたのはほんの数人だった。^{[ 3 ]}彼の父親は数学を教えていた。アレクシスは神童だった。彼は9歳までにユークリッド幾何学と代数学を習得した。10歳でギヨーム・ド・ロピタルの『小無限解析』（1696年） を使って円錐曲線と微積分を学んだ。^{[ 4 ] : 452} 12歳で4つの幾何学的曲線についての論文を書き、父親の指導の下でこの分野で急速に進歩し、13歳でアカデミー・フランセーズで彼が発見した4つの曲線の性質についての報告を朗読した。^{[ 5 ]}彼はわずか16歳で「曲がりくねった曲線に関する研究」という論文を完成させ、1731年の出版により、法定年齢である18歳未満であったにもかかわらず、王立科学アカデミーへの入会を認められた。彼は、デカルト座標系またはXY平面上の任意の2点間の距離を求めるのに役立つ距離公式と呼ばれる画期的な公式を発表した。

クレローは生涯独身で、活発な社交生活を送っていたことで知られていた。^{[ 3 ]}社交界での人気が高まるにつれ、科学研究は妨げられた。「彼は食事や夜の外出に没頭し、女性にも興味があり、日々の楽しみを仕事にしようとした結果、休息や健康を失い、52歳で命を落とした」とボスートは述べている。充実した社交生活を送った一方で、若い数学者の学問の発展にも大きく貢献した。

彼は1737年10月27日にロンドン王立協会のフェローに選出された。 ^{[ 6 ]}

クレローは1765年にパリで亡くなった。月のクレロー・クレーターは1935年に彼にちなんで名付けられた。^{[ 7 ]}

微積分に関する研究において、クレローは混合偏微分の等式（クレローの定理）を発見した。^{[ 8 ]}彼は微分方程式が成り立つ条件を示した。${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$正確には、${\displaystyle M_{y}=N_{x}}$[ ^{4 ]： 452​}

彼は次の形式の微分方程式を示した。${\displaystyle y=xy'+f(y')}$現在クレロー方程式として知られるこの式は、代入することで解くことができる。${\displaystyle p=y'}$そして両辺を微分する。^{[ 4 ]： 451}彼はまた、 1階線形微分方程式の積分因子の存在を確立した。しかし、彼は1687年にニコラ・ファティオ・ド・デュリエによって、またヨハン・ベルヌーイがロピタルに与えた講義の中で、すでに先んじられていた。^{[ 8 ]}

1741年、クレローは初心者向けに『幾何学の基礎』を出版しました。クレローにとって、学生が能動的で体験的な学習を通して自ら発見することが不可欠でした。^{[ 9 ]}彼はまず、幾何学的形状を土地の寸法と比較するという馴染みのあるテーマから始め、線、図形、さらにはいくつかの三次元物体についても取り上げました。本書を通して、彼は幾何学を他の数学分野だけでなく、物理学や天文学とも豊富に関連付けました。本書で概説されている理論や学習方法の一部は、現在でも幾何学やその他の分野で教師によって使用されています。^{[ 10 ]}この教科書は非常に人気があり、6版を重ねました。^{[ 4 ] : 458} 18世紀には、カール・フリードリヒ・ガウスが幾何学におけるクレローとクリスティアーン・ホイヘンスの貢献を拡張し、ガウス曲率の概念を導入しました。^{[ 4 ] : 506}

クレローの『代数学の原理』（1740年）も大陸ヨーロッパで好評を博した。第6版は1801年に出版された。^{[ 4 ]： 458}

1736年、彼はピエール・ルイ・モーペルテュイ とともに、子午線弧の度数を推定するために行われたラップランド遠征に参加した。^{[ 11 ]}この遠征の目的は、地球の形状を決定し、地球がアイザック・ニュートン卿が著書『プリンキピア』で主張したように扁球なのか、それともジョヴァンニ・カッシーニが考えたように長方形なのかを検証することであった。 ^{[ 8 ]}遠征隊がパリに戻る前に、クレローは計算結果をロンドン王立協会に送った。この文章は後に同協会によって1736年から1737年の『フィロソフィカル・トランザクションズ』に掲載された。^{[ 12 ]}当初、クレローはニュートンの結論に同意しなかった。この論文で、彼はニュートンの計算を効果的に否定するいくつかの重要な問題点を概説し、その複雑な問題に対するいくつかの解決策を提示している。取り上げられた問題には、重力の計算、楕円体の軸を中心とした回転、および楕円体の軸上の密度の差などが含まれる。^{[ 12 ]}クレローは手紙の最後に次のように書いている。

「アイザック・ニュートン卿でさえ、地球は極でより平坦になるためには中心に向かってより密度が高くなる必要があり、この平坦さの増大により、重力は赤道から極に向かってより大きくなるという見解を持っていたようだ。」^{[ 12 ]}

これは、地球が楕円体であるだけでなく、極でより扁平で中心部が広い、つまり扁球であることを意味していた。彼が『フィロソフィカル・トランザクションズ』に発表した論文は、ニュートンの理論の問題点を取り上げたものの、計算を修正する方法についてはほとんど解決策を示さなかったため、大きな論争を巻き起こした。

帰国後、彼は論文「地球の形状理論」（1743年）を出版した。この論文の中で、彼は回転する楕円体の表面上の点における重力と赤道における圧縮力および遠心力を結びつける、現在クレローの定理として知られる結果を提唱した。彼の公式は、緯度の関数として地球の重力場の強さを与えた。^{[ 8 ]}この地球の形状に関する静水圧モデルは、スコットランドの数学者コリン・マクローリンの論文に基づいており、その論文では、均質な流体の塊が、その重心を通る線を中心に回転すると、粒子間の相互引力によってマクローリン球の形をとることが示されていた。地球が均一な密度の同心円状の楕円体殻で構成されているという仮定の下では、クレローの定理を地球に適用することができ、重力の表面測定値から地球の離心率（または完全な球体からのずれ）を計算することができました。これはニュートンの計算を検証しました。^{[ 3 ]} 1849年、ジョージ・ストークスは、表面が小さな離心率の平衡回転楕円体である限り、地球の内部構造や密度に関係なく、クレローの結果が正しいことを示しました。

18 世紀で最も議論を呼んだ問題の一つは、三体問題、つまり地球、月、太陽が互いにどのように引き合うかという問題でした。最近確立されたライプニッツ微積分を用いて、クレローは 4 つの微分方程式でこの問題を解決することができました。^{[ 13 ]}また、ニュートンの逆二乗法則と引力の法則を、若干の修正を加えて、この解に組み込むことができました。しかし、これらの方程式は近似的な測定値しか提供せず、正確な計算はできませんでした。三体問題には、月が近点を中心にどのように回転するかという問題がまだ残っていました。ニュートンでさえ、近点の動きの半分しか説明できませんでした。^{[ 13 ]}この問題は天文学者を悩ませていました。実際、クレローは当初、このジレンマがあまりにも説明できないと考え、引力の法則に関する新しい仮説を発表しようとしていました。

近点の問題はヨーロッパで激しい議論の的となった。クレローの他に、三体問題の最初の説明を提供しようと競い合っていた数学者が2人いた。レオンハルト・オイラーとジャン・ル・ロン・ダランベールである。^{[ 13 ]}オイラーとダランベールは、三体問題を解くためにニュートンの法則を使用することに反対していた。特にオイラーは、月の近点を正確に計算するには逆二乗法則を修正する必要があると信じていた。

正しい解を見つけ出すための激しい競争にもかかわらず、クレローは三体問題の巧妙な近似解を得た。1750年、彼は論文「月面理論」でサンクトペテルブルク科学アカデミーの賞を獲得した。クレロー、ジェローム・ラランド、ニコール・レーヌ・ルポーからなるチームは、1759年のハレー彗星の回帰日を計算することに成功した。^{[ 14 ]}「月面理論」は厳密にはニュートン力学に基づいている。この論文には、近点運動の説明が含まれている。彼は近似を3次まで拡張することを思いつき、その結果が観測と一致することを発見した。これに続いて1754年には、離散フーリエ変換の一形態を用いて計算した月面表が発表された。^{[ 15 ]}

新たに発見された3体問題の解法は、ニュートンの法則が正しいことを証明する以上の意味を持つことになった。3体問題の解明は実用的な重要性も持っていた。これにより、船乗りは船の縦方向を決定できるようになり、これは目的地への航海だけでなく、帰路を見つける上でも非常に重要だった。^{[ 13 ]}また、縦方向の測定値に基づいて貿易の目的地をより簡単に見つけることができるようになったため、経済的な意味合いもあった。

同じ著作の中で、クレローは、ジョージ・グリーンの1828年の論文以来その名で知られるポテンシャル理論を初めて導入した。^{[ 8 ]}

クレローはその後、月の軌道や、惑星の摂動によって影響を受ける彗星の運動、特にハレー彗星の軌道に関する論文を多数執筆した。また、応用数学を用いて金星を研究し、金星の大きさや地球からの距離を正確に測定した。これは、金星の大きさを初めて正確に計測した事例となった。

クレローは、天体力学と天文学における自身の貢献を利用して、エミリー・デュ・シャトレによるニュートンの『プリンキピア』の翻訳と解説を支援した。^{[ 8 ]}