スクワークル

スクワークルとは、正方形と円の中間の形状のことです。スクワークルには少なくとも2つの定義があり、1つはスーパー楕円に基づいたもので、もう1つは光学の研究から生まれたものです。「スクワークル」という言葉は、 「square」と「circle」を組み合わせた造語です。スクワークルは、デザインや光学の分野で応用されています。

デカルト座標系では、スーパー楕円は次の式で定義される。 $${\displaystyle \left|{\frac {xa}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {yb}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}$$ ここで、r _aとr _bは長半径と短半径、aとbは楕円の中心のx座標とy座標、 nは正の数です。典型的なスクワークルは、 r _a = r _bおよびn = 4のスーパー楕円として定義されます。その方程式は次のとおりです。^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left|xa\right|^{4}+\left|yb\right|^{4}=r^{4}}$$ ここでrはスクワークルの半径です。これを円の方程式と比較してください。スクワークルの中心が原点にある場合、a = b = 0となり、ラメの特殊四次曲線と呼ばれます。

このスクワークルの内側の面積は、ベータ関数Bまたはガンマ関数Γを用いて次のように表すことができます^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{面積}}&=4\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{r^{4}-x^{4}}}\,dx\\&=4r\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{1-{\frac {x^{4}}{r^{4}}}}}\,dx\\&=4r^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-u^{4}}}\,du\\&={\sqrt[{4}]{4}}r^{2}\int _{0}^{\frac {1}{4}}v^{-{\frac {3}{4}}}{\sqrt[{4}]{1-4v}}\,dv\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{\frac {1}{4}}w^{-{\frac {3}{4}}}\,dw\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{{\frac {5}{4}}-1}w^{{\frac {1}{4}}-1}\,dw\\&=r^{2}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {5}{4}}\right)\\&=4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac \begin{aligned} \left\{\frac{8r^{2}\left(\operatorname{\Gamma}\left({\frac{5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt{\pi}}}\\&=\varpi{\sqrt{2}}r^{2}\approx 3.708149r^{2},\end{aligned}}}$$ ここで、rはスクワークルの半径、ϖはレムニスケート定数です。

もう一つのスクワークルは光学の研究から生まれたものです。^{[ 3 ] [ 4 ]}上記のスーパー楕円に関連するスクワークルと区別するために、著者の1人にちなんでフェルナンデス＝グアスティ・スクワークル、またはFGスクワークルと呼ばれることがあります。^{[ 2 ]}この種のスクワークルは原点を中心とし、次の式で定義されます。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}}$$ ここで、 rはスクワークルの半径、sは正方形度パラメータ、xとyは区間[ − r , r ]に含まれる。s = 0の場合、この方程式は円を表し、s = 1の場合、正方形を表す。この方程式により、無限大を用いることなく、円から正方形への遷移を滑らかにパラメータ化することができる。

もう一つのタイプのスクワークルは三角法から生じる。^{[ 6 ]}このタイプのスクワークルはℝ2で周期的であり、次の式で表される^。

$${\displaystyle \cos \left({\frac {s\pi x}{2r}}\right)\cos \left({\frac {s\pi y}{2r}}\right)=\cos \left({\frac {s\pi }{2}}\right)}$$

ここで、rはスクワークルの小半径、sは正方形度パラメータ、xとyは区間(− r , r )内にある。sが極限で 0 に近づくと、方程式は円になる。s = 1のとき、方程式は正方形になる。^{[ 7 ]}

スクワークルは光学において有用である。光が2次元の正方形の開口部を通過する場合、回折パターンの中心スポットはスクワークルまたはスーパーサークルによって近似的にモデル化できる。長方形の開口部を使用する場合は、スポットはスーパー楕円によって近似できる。^{[ 4 ]}

スクワークルはディナープレートを作るのにも使われてきました。スクワークルプレートは、同じ半径の円形プレートよりも面積が大きく（そのためより多くの食べ物を乗せることができます）、長方形または正方形の食器棚の中で同じ量のスペースを占めます。^{[ 8 ]}

多くのノキア製携帯電話モデルは、スクワークル型のタッチパッドボタンを採用して設計されており、^{[ 9 ] [ 10 ]}第二世代のマイクロソフト Zuneも同様でした。^{[ 11 ]}アップルは、 iOS、iPadOS、macOS、および一部のアップル製ハードウェアのホームボタンのアイコンに、スクワークル（実際には五次超楕円）の近似形を使用しています。 ^{[ 12 ]} Android「Oreo」オペレーティングシステムで導入された適応型アイコンの形状の 1 つはスクワークルです。^{[ 13 ]}サムスンは、Android ソフトウェアオーバーレイOne UI、Samsung Experience、およびTouchWizでスクワークル型のアイコンを使用しています。^{[ 14 ]}

イタリアの自動車メーカーであるフィアットは、第3世代パンダのインテリアとエクステリアのデザインに多数のスクワークルを使用しました。^{[ 15 ]}

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