ゼロエレメント

数学において、零元とは、数ゼロを他の代数構造に一般化したものの1つである。これらの異なる意味は、文脈によっては同じ意味に帰着する場合もあれば、そうでない場合もある。

加法単位元とは、加法群または加法モノイドにおける単位元です。これは次の要素に対応します。${\displaystyle 0}$すべての${\displaystyle x}$グループ内で、${\displaystyle 0+x=x+0=x}$加法的な同一性の例としては、以下のようなものがあります。

• ベクトル加算におけるゼロベクトル：成分がすべてゼロのベクトル${\displaystyle 0}$;ノルム付きベクトル空間では、そのノルム（長さ）も${\displaystyle 0}$しばしば次のように表記される$\displaystyle \mathbf {0} }$または${\displaystyle {\vec {0}}}$[ ^{1 ]​}
• ゼロ関数またはゼロマップは次のように定義されます。${\displaystyle z(x)=0}$点ごとの加算の下で${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• 集合の和集合の下にある空集合
• 空の合計または空積
• 圏における初期対象（空の余積であり、したがって余積の下での同一性）

乗法半群または半環における吸収要素は、その性質を一般化する。${\displaystyle 0\cdot x=0}$例としては以下のようなものがあります。

• 空集合は、集合のデカルト積の下で吸収要素であるため、${\displaystyle \varnothing \times S=\varnothing }$
• ゼロ関数またはゼロマップは次のように定義されます。${\displaystyle z(x)=0}$点ごとの乗算${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

吸収要素の多くは加法単位元でもあり、空集合や零関数もその一つである。もう一つの重要な例は、特異要素である。${\displaystyle 0}$体または環において、加法単位元と乗法吸収元の両方であり、その主イデアルが最小のイデアルである。

圏におけるゼロ対象は、始対象と終対象の両方であり（したがって、余積と積の両方において恒等写像となる）、例えば、自明な構造（恒等写像のみを含む）は、射が恒等写像を恒等写像しなければならない圏におけるゼロ対象である。具体的な例としては、以下が挙げられる。

• 自明な群とは、単位元（群の圏における零対象）のみを含む群のことである。
• ゼロ加群とは、恒等関数のみを含む加群（環上の加群の圏におけるゼロ対象）のことである。

圏における零射は関数合成による一般化吸収元である。零射と合成された任意の射は零射を与える。具体的には、${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$は、からへの射の中でゼロ射です。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$、 そして${\displaystyle f:A\to X}$そして${\displaystyle g:Y\to B}$は任意の射である。${\displaystyle g\circ 0_{XY}=0_{XB}}$そして${\displaystyle 0_{XY}\circ f=0_{AY}}$。

カテゴリにゼロ個のオブジェクトがある場合${\displaystyle 0}$すると、正準射が存在する${\displaystyle X\to 0}$そして${\displaystyle 0\to Y}$、そしてそれらを組み合わせるとゼロ射が得られる。${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$例えば群の圏では、ゼロ射は常に群の恒等式を返す射であり、したがって関数を一般化する。${\displaystyle z(x)=0}$。

半順序集合または格子における最小要素は、ゼロ要素と呼ばれることもあり、次のように表記される。${\displaystyle 0}$または${\displaystyle \bot }$。

数学において、零加群とは、加群の加法関数の単位元のみからなる加群のことである。整数においては、この単位元はゼロであり、これが零加群という名前を与えている。零加群が実際に加群であることは簡単に証明できる。それは加法と乗法に関して自明に閉じているからである。

数学において、環における零イデアル${\displaystyle R}$理想的${\displaystyle 0}$加法単位元（または零元）のみから構成される。これがイデアルであることは、定義から直接導かれる。

数学、特に線形代数において、零行列とは、すべての要素がゼロである行列のことである。これは、記号で表されることもある。${\displaystyle O}$[ ^{2 ]}ゼロ行列の例をいくつか挙げる^と

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

環Kの要素を持つm × n行列の集合はモジュールを形成する。${\displaystyle K_{m,n}}$ゼロ行列${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$で${\displaystyle K_{m,n}}$すべてのエントリが等しい行列は$0K$、 どこ$0K$Kにおける加法単位元です。

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

ゼロ行列は加法単位行列です${\displaystyle K_{m,n}}$つまり、すべての${\displaystyle A\in K_{m,n}}$:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

任意のサイズのゼロ行列はちょうど１つだけ存在する。${\displaystyle m\times n}$（与えられた環からの要素を含む）ので、文脈が明確な場合は、ゼロ行列と呼ばれることが多い。行列環では、ゼロ行列は加法単位元と吸収要素の両方の役割を果たす。一般に、環のゼロ要素は一意であり、通常は次のように表記される。${\displaystyle 0}$親環を示す添え字は使用しない。したがって、上記の例は任意の環上の零行列を表す。

ゼロ行列は、すべてのベクトルをゼロベクトルに変換する線形変換も表します。

数学において、ゼロテンソルとは、任意の次数を持つテンソルで、そのすべての成分がゼロであるテンソルのことである。次数 のゼロテンソル${\displaystyle 1}$これはゼロベクトルとも呼ばれることがある。

任意のテンソルと任意のゼロテンソルのテンソル積をとると、別のゼロテンソルが得られます。特定の型のテンソル間では、その型のゼロテンソルがそれらのテンソル間の加法単位元として機能します。

• ヌル半群
• 零除数
• ゼロオブジェクト
• 関数の零点
• ゼロ― 数学以外の用途