バイマトリックスゲーム

ゲーム理論において、二行列ゲームとは、各プレイヤーが有限個の可能な行動を持つ2人のプレイヤーによる同時ゲームのことである。この名前は、このようなゲームの標準形が2つの行列（行列）で記述できることに由来する。${\displaystyle A}$プレイヤー1の利得と行列を説明する${\displaystyle B}$プレイヤー2の利得を説明する。^{[ 1 ]}

プレイヤー1は「行プレイヤー」、プレイヤー2は「列プレイヤー」と呼ばれることが多い。プレイヤー1が${\displaystyle m}$可能なアクションとプレイヤー2は${\displaystyle n}$可能なアクションの場合、2 つの行列のそれぞれには${\displaystyle m}$行${\displaystyle n}$列。行プレーヤーが選択すると${\displaystyle i}$-番目のアクションと列プレーヤーが選択${\displaystyle j}$のアクションでは、行プレイヤーへの報酬は${\displaystyle A[i,j]}$そしてコラムプレーヤーへの報酬は${\displaystyle B[i,j]}$。

プレイヤーは混合戦略をとることもできます。行プレイヤーの混合戦略は非負ベクトルです。${\displaystyle x}$長さ${\displaystyle m}$すなわち、${\textstyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}=1}$同様に、列プレイヤーの混合戦略は非負ベクトルである。${\displaystyle y}$長さ${\displaystyle n}$すなわち、${\textstyle \sum _{j=1}^{n}y_{j}=1}$プレイヤーがベクトルを用いた混合戦略をプレイする場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$行プレイヤーの期待利得は次のとおりです。${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay}$そしてコラムプレーヤーについて：${\displaystyle x^{\mathsf {T}}By}$。

すべての二行列ゲームには、 （場合によっては）混合戦略におけるナッシュ均衡が存在する。このようなナッシュ均衡を見つけることは、線形相補性問題の特殊なケースであり、レムケ・ハウソンアルゴリズムによって有限時間で実行できる。^{[ 1 ]}

二行列ゲームにおけるナッシュ均衡を見つける問題は、レオンチェフ効用を持つ経済における競争均衡を見つける問題に還元される。^{[ 2 ]}

ゼロサムゲームは、バイマトリックスゲームの特殊なケースであり、${\displaystyle A+B=0}$。