スペクトル集中問題

フーリエ解析におけるスペクトル集中問題とは、スペクトル集中度によって測定されるように 、与えられた長さの時間系列の離散フーリエ変換が、与えられた周波数区間に最大限に局在化するようにすることを指す。

有限級数の離散フーリエ変換（DFT）U（f ）${\displaystyle w_{t}}$、${\displaystyle t=1,2,3,4,...,T}$は次のように定義される。

${\displaystyle U(f)=\sum _{t=1}^{T}w_{t}e^{-2\pi ift}.}$

以下では、サンプリング間隔をΔ t = 1とし、周波数間隔を f ∈ [- 1 / 2 , 1 / 2 ]とする。U ( f )は周期 1 の周期関数である。

0 < W < 1/2となる特定の周波数Wに対して、スペクトル集中度は${\displaystyle \lambda (T,W)}$区間 [- W , W ] におけるU ( f )のパワーは、周波数帯域[- W , W ]に含まれるU ( f ) のパワーと、全周波数帯域 [- ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ]に含まれるU ( f )のパワーの比として定義されます。つまり、

${\displaystyle \lambda (T,W)={\frac {\int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}{\int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df}}.}$

U ( f )は孤立零点のみを持つことが示され、したがって${\displaystyle 0<\lambda (T,W)<1}$（[1]を参照）。したがって、スペクトル集中度は厳密に1未満であり、有限シーケンスは存在しない。${\displaystyle w_{t}}$DTFTは[ -W , W ]の帯域内に限定でき、この帯域外ではゼロになるようにすることができます。

すべてのシーケンスの中で${\displaystyle \lbrace w_{t}\rbrace }$与えられたTとWに対して、スペクトル集中度が最大となるようなシーケンスは存在するか？言い換えれば、周波数帯域[-W, W]の外側のサイドローブエネルギーが最小となるようなシーケンスは存在するか？

答えはイエスです。そのようなシーケンスは確かに存在し、最適化によって見つけることができます。${\displaystyle \lambda (T,W)}$それによってパワーを最大化する

${\displaystyle \int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}$

総電力は固定されているという制約の下で、

${\displaystyle \int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df=1,}$

最適なシーケンスが満たす以下の式が得られる。${\displaystyle w_{t}}$:

${\displaystyle \sum _{t'=1}^{T}{\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi (t-t')}}w_{t'}=\lambda w_{t}.}$

これは、対称行列の固有値方程式です。

${\displaystyle M_{t,t'}={\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi (t-t')}}.}$

この行列は正定値行列であることが示されており、したがってこの行列のすべての固有値は0から1の間にある。上記の式の最大の固有値は、可能な最大のスペクトル集中度に対応し、対応する固有ベクトルが要求される最適なシーケンスである。${\displaystyle w_{t}}$このシーケンスは、0^次スレピアンシーケンス（離散長球状シーケンス、またはDPSSとも呼ばれる）と呼ばれ、サイドローブが最大限に抑制された独特のテーパーです。

行列Mの1 に近い支配的な固有値の数は、シャノン数と呼ばれるN=2WTに対応することがわかります。固有値が${\displaystyle \lambda }$降順で並べられています (つまり、${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}}$) に対応する固有ベクトル${\displaystyle \lambda _{n+1}}$これはn^次スレピアンシーケンス（DPSS）（0≤n≤N - 1 ）と呼ばれます。このn^次テーパーは、サイドローブ抑制効果が最も高く、前の次数のスレピアンシーケンスと対ごとに直交しています。${\displaystyle (0,1,2,3....,n-1)}$これらの低次のスレピアン系列は、マルチテーパー法によるスペクトル推定の基礎となる。

スペクトル集中問題は時系列に限らず、球面調和関数を用いて複数の直交座標次元[1]や球面上[2]に適用するように再定式化することができ、^{地球物理学}や^宇宙論[ 3 ]などの分野^で応用されている 。

• マルチテーパー
• フーリエ変換
• 離散フーリエ変換

• パルタ・ミトラ、ヘマント・ボキル著『 脳のダイナミクスの観察』オックスフォード大学出版局、米国（2007年）、書籍へのリンク
• ドナルド・B・パーシバル、アンドリュー・T・ウォルデン著『 物理応用におけるスペクトル解析：マルチテーパー法と従来型単変量法』ケンブリッジ大学出版局、英国（2002年）。
• Mitra, PP; Pesaran, B. (1999). "動的脳画像データの解析" . Biophysical Journal . 76 (2): 691– 708. arXiv : q-bio/0309028 . Bibcode : 1999BpJ....76..691M . doi : 10.1016/S0006-3495(99)77236-X . PMC 1300074 . PMID 9929474 .