デジタルフィルタ

信号処理において、デジタル フィルタは、サンプリングされた離散時間信号に対して数学的演算を実行し、その信号の特定の側面を低減または強化するシステムです。これは、他の主要なタイプの電子フィルタであるアナログフィルタとは対照的です。アナログ フィルタは、通常、連続時間アナログ信号に対して動作する電子回路です。

デジタルフィルタシステムは通常、入力信号をサンプリングするアナログ-デジタルコンバータ（ADC）、それに続くマイクロプロセッサ、およびデータやフィルタ係数などを格納するメモリなどの周辺部品から構成されます。マイクロプロセッサ上で実行されるプログラム命令（ソフトウェア）は、ADCから受信した数値に対して必要な数学的演算を実行することで、デジタルフィルタを実装します。一部の高性能アプリケーションでは、汎用マイクロプロセッサの代わりにFPGAまたはASICが使用されるか、フィルタリングなどの操作を高速化するために特定の並列アーキテクチャを備えた特殊なデジタル信号プロセッサ（DSP）が使用されます。^{[1] [2]}

デジタル フィルタは、複雑さが増すため同等のアナログ フィルタよりも高価になる場合がありますが、アナログ フィルタでは非現実的または不可能な多くの設計を現実的にすることができます。デジタル フィルタは、多くの場合、非常に高次のものにすることができ、線形位相応答を可能にする有限インパルス応答フィルタであることが多いです。リアルタイム アナログ システムのコンテキストで使用する場合、デジタル フィルタは、関連するアナログからデジタルへの変換やデジタルからアナログへの変換、アンチエイリアシング フィルタ、または実装時のその他の遅延のために、レイテンシ (入力と応答の時間差) が問題になることがあります。

デジタル フィルターは、ラジオ、携帯電話、AV レシーバーなどの日常的な電子機器に欠かせない要素として広く普及しています。

デジタル フィルタは、伝達関数、または同等の差分方程式によって特徴付けられます。伝達関数の数学的分析により、任意の入力に対する応答を記述できます。したがって、フィルタの設計は、問題に適した仕様 (たとえば、特定のカットオフ周波数を持つ 2 次ローパス フィルタ) を開発し、その仕様を満たす伝達関数を作成することから構成されます。

線形、時間不変、デジタルフィルタの伝達関数は、 Z領域の伝達関数として表現できます。因果関係がある場合は、次の形式になります。^[3]

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z ^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}}$

ここで、フィルタの次数はNまたはMの大きい方です。この伝達関数の詳細については、Z変換のLCCD方程式を参照してください。

これは再帰フィルタの形式で、通常は無限インパルス応答(IIR) の動作につながりますが、分母を1に等しくすると (つまりフィードバックがなくなると)、有限インパルス応答(FIR) フィルタになります。

さまざまな数学的手法を使用して、特定のデジタル フィルタの動作を分析できます。これらの分析手法の多くは設計にも使用され、フィルタ仕様の基礎となることがよくあります。

通常、フィルタの特性は、インパルスなどの単純な入力に対してフィルタがどのように応答するかを計算することによって決定されます。その後、この情報を拡張して、より複雑な信号に対するフィルタの応答を計算できます。

インパルス応答は、または と表記されることが多く、フィルタがクロネッカーのデルタ関数にどのように応答するかを測定したものです。 ^[4]たとえば、差分方程式が与えられた場合、に対してと を設定して評価します。インパルス応答は、フィルタの動作を特徴付けたものです。デジタルフィルタは通常、無限インパルス応答(IIR) と有限インパルス応答(FIR) の 2 つのカテゴリに分類されます。線形時間不変 FIR フィルタの場合、インパルス応答はフィルタ係数のシーケンスとまったく同じであるため、次のようになります。 ${\displaystyle h[k]}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{k}=0}$${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle \ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}}$

一方、IIR フィルターは再帰的であり、出力は現在の入力と以前の入力、および以前の出力の両方に依存します。したがって、IIR フィルターの一般的な形式は次のようになります。

${\displaystyle \ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}}$

インパルス応答をプロットすると、フィルタが突然の瞬間的な外乱にどのように応答するかがわかります。IIR フィルタは常に再帰的です。再帰フィルタが有限のインパルス応答を持つことは可能ですが、非再帰フィルタは常に有限のインパルス応答を持ちます。例としては、移動平均 (MA) フィルタがあります。これは再帰的^{[引用が必要]}にも非再帰的にも実装できます。

離散時間システムでは、デジタル フィルタは、多くの場合、Z 変換を介して伝達関数を線形定係数差分方程式(LCCD)に変換することによって実装されます。離散周波数領域伝達関数は、2 つの多項式の比として表されます。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}}$

これを拡張すると次のようになります。

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}}$

対応するフィルタを因果的にするには、分子と分母を の最高次数で割ります。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

分母の係数 は「フィードバック」係数であり、分子の係数 は「フィードフォワード」係数です。結果として得られる線形差分方程式は次のようになります。 ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]}$

または、上記の例の場合:

${\displaystyle {\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}}$

用語の並べ替え:

${\displaystyle \Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)}$

次に逆Z変換を実行します。

${\displaystyle \Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

そして最後に、を解くことによって： ${\displaystyle y[n]}$

${\displaystyle y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

この式は、過去の出力、現在の入力、および過去の入力を使用して、次の出力サンプル を計算する方法を示しています。この形式の入力にフィルタを適用すると、評価の正確な順序に応じて、直接形式 I または II (以下を参照) の実現と同等になります。 ${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle y[n-p]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n-p]}$

たとえば、上記の式をコードで実装するコンピュータ プログラマーが使用する平易な言葉で説明すると、次のように表すことができます。

${\displaystyle y}$= 出力、またはフィルタリングされた値= 入力、または入ってくる生の値= サンプル数、反復数、または期間数
${\displaystyle x}$
${\displaystyle n}$

したがって:

${\displaystyle y[n]}$= 現在のフィルタリングされた（出力）値= 最後にフィルタリングされた（出力）値= 最後から 2 番目のフィルタリングされた（出力）値= 現在の生の入力値= 最後の生の入力値= 最後から 2 番目の生の入力値
${\displaystyle y[n-1]}$
${\displaystyle y[n-2]}$
${\displaystyle x[n]}$
${\displaystyle x[n-1]}$
${\displaystyle x[n-2]}$

フィルターは簡単に理解および計算できますが、その設計と実装の実際的な課題は大きく、多くの高度な研究の対象となっています。

デジタルフィルタには、再帰型フィルタと非再帰型フィルタの2つのカテゴリがあります。これらは、それぞれ無限インパルス応答（IIR）フィルタと有限インパルス応答（FIR）フィルタと呼ばれることがよくあります。^[5]

フィルタを設計した後、サンプル シーケンスに対する操作の観点からフィルタを記述する信号フロー図を作成して、 フィルタを実現する必要があります。

与えられた伝達関数は、多くの方法で実現できます。 のような単純な式がどのように評価されるかを考えてみましょう。同等の を計算することもできます。同様に、すべての実現は同じ伝達関数の因数分解と見なすことができますが、異なる実現は異なる数値特性を持ちます。具体的には、実装に必要な演算数や記憶要素の点で効率的な実現もあれば、数値安定性の向上や丸め誤差の低減などの利点を提供する実現もあります。固定小数点演算に適した構造もあれば、浮動小数点演算に適した構造もあります。 ${\displaystyle ax+bx+c}$${\displaystyle x(a+b)+c}$

IIRフィルタを実現する最も簡単な方法は、差分方程式を直接評価する直接形式Iです。この形式は小さなフィルタには実用的ですが、複雑な設計では非効率的で非実用的（数値的に不安定）になる可能性があります。 ^[6] 一般に、この形式では、N次のフィルタに2N個の遅延要素（入力信号と出力信号の両方）が必要です。

代替の直接形式 IIでは、 N 個の遅延ユニットのみが必要です。ここで、 N はフィルタの次数で、直接形式 I の半分になる可能性があります。この構造は、直接形式 I の分子と分母のセクションの順序を逆にすることで得られます。これらは実際には 2 つの線形システムであり、交換法則が適用されます。次に、中央ネットから分岐する 2 つの遅延列 ( ) があることに気付くでしょう。これらは冗長であるため組み合わせることができ、以下に示すような実装が生成されます。 ${\displaystyle z^{-1}}$

欠点は、直接形式 II では、高Qまたは共振のフィルタで演算オーバーフローの可能性が高くなることです。^[7] Qが増加すると、両方の直接形式トポロジの丸めノイズが際限なく増加すること が示されています。 ^[8] これは、概念的には、信号が最初に全極フィルタ (通常は共振周波数でゲインをブーストする) を通過し、その結果が飽和し、次に全ゼロ フィルタ (全極半分が増幅したものの多くを減衰させることが多い) を通過するためです。

一般的な戦略は、高次（2 より大きい）デジタルフィルタを、2 次双二次（またはバイクアッド）セクションのカスケード接続として実現することです^[9]（デジタルバイクアッドフィルタを参照）。この戦略の利点は、係数の範囲が制限されることです。直接形式 II セクションをカスケード接続すると、次数Nのフィルタに対してN個の遅延要素が生成されます。直接形式 I セクションをカスケード接続すると、 N + 2 個の遅延要素が生成されます。これは、セクション（最初のセクションを除く）の入力の遅延要素が、前のセクションの出力の遅延要素と冗長であるためです。

その他の形式は次のとおりです:

• 直接転置形式IとII
• シリーズ/カスケード下位（典型的には2次）サブセクション
• 並列の下位（典型的には2次）サブセクション
  • 連分数展開
• 格子とはしご
  • 1、2、3倍の格子形式
  • 3倍および4倍の正規化ラダー形式
  • ARMA構造
• 状態空間構造:
  • 最適（ノイズが最小という意味で）:パラメータ${\displaystyle (N+1)^{2}}$
  • ブロック最適とセクション最適:パラメータ${\displaystyle 4N-1}$
  • ギブンズ回転とバランスのとれた入力：パラメータ^[10]${\displaystyle 4N-1}$
• 結合形式: ゴールド レーダー (通常)、状態変数 (チェンバリン)、キングズベリー、修正状態変数、ゾルツァー、修正ゾルツァー
• ウェーブデジタルフィルタ（WDF）^[11]
• アガルワル・バーラス（1AB および 2AB）
• ハリス・ブルッキング
• ND-TDL
• マルチフィードバック
• サレンキーフィルタや状態変数フィルタなどのアナログ風の形式
• シストリックアレイ

デジタルフィルタは、アナログフィルタの設計を非常に複雑にする部品の非線形性の影響を受けません。アナログフィルタは不完全な電子部品で構成されており、その値は許容範囲の限界で指定されており（たとえば、抵抗値の許容範囲は±5%であることが多い）、温度によって変化したり、時間とともにドリフトしたりすることもあります。アナログフィルタの次数が増え、部品数が増えると、部品の変動による誤差の影響は大幅に大きくなります。デジタルフィルタでは、係数の値はコンピュータのメモリに保存されるため、はるかに安定しており、予測可能です。^[12]

デジタル フィルタの係数は明確なので、より複雑で選択的な設計を実現できます。具体的には、デジタル フィルタを使用すると、アナログ フィルタで実現できるよりも低い通過帯域リップル、高速遷移、および高い阻止帯域減衰を実現できます。アナログ フィルタを使用して設計できる場合でも、同等のデジタル フィルタを設計するためのエンジニアリング コストははるかに低くなります。さらに、デジタル フィルタの係数を簡単に変更して、適応フィルタまたはユーザー制御可能なパラメトリック フィルタを作成できます。これらの手法はアナログ フィルタでも可能ですが、やはりかなり困難です。

デジタル フィルターは、有限インパルス応答フィルターの設計に使用できます。同等のアナログ フィルターは遅延要素を必要とするため、より複雑になることがよくあります。

デジタル フィルタはアナログ回路への依存度が低いため、信号対雑音比が向上する可能性があります。デジタル フィルタは、アナログ ローパス フィルタリング、アナログからデジタルへの変換、デジタルからアナログへの変換中に信号にノイズを発生させ、量子化によってデジタル ノイズを発生させる場合があります。アナログ フィルタでは、すべてのコンポーネントが熱ノイズ (ジョンソン ノイズなど) の発生源となるため、フィルタの複雑さが増すにつれてノイズも増加します。

ただし、デジタル フィルターは、システムに対してより高い基本的な遅延をもたらします。アナログ フィルターでは、遅延は無視できる場合が多く、厳密に言えば、電気信号がフィルター回路を伝搬するのにかかる時間です。デジタル システムでは、遅延はデジタル信号パスの遅延要素と、システムがアナログ信号を処理できるようにするアナログ - デジタルコンバーターおよびデジタル - アナログ コンバーターによって生じます。

非常に単純なケースでは、アナログ フィルタを使用する方がコスト効率が高くなります。デジタル フィルタを導入するには、前述のように、2 つのローパス アナログ フィルタを含む、かなりのオーバーヘッド回路が必要になります。

アナログ フィルタのもう 1 つの利点は、消費電力が低いことです。アナログ フィルタは消費電力が大幅に少ないため、電力要件が厳しい場合の唯一のソリューションとなります。

PCB上に電気回路を作る場合、処理ユニットが長年にわたり高度に最適化されているため、デジタルソリューションを使用する方が一般的に簡単です。アナログコンポーネントで同じ回路を作る場合、ディスクリートコンポーネントを使用すると、より多くのスペースが必要になります。2つの代替手段はFPAA ^[13]とASICですが、少量の場合は高価です。

フィルターを特徴付ける方法はさまざまです。たとえば、次のようになります。

• 線形フィルタは入力サンプルの線形変換です。他のフィルタは非線形です。線形フィルタは重ね合わせ原理を満たします。つまり、入力が異なる信号の重み付き線形結合である場合、出力は対応する出力信号の同様に重み付き線形結合になります。
• 因果フィルタは入力信号または出力信号の以前のサンプルのみを使用しますが、非因果フィルタは将来の入力サンプルを使用します。非因果フィルタは通常、遅延を追加することで因果フィルタに変更できます。
• 時間不変フィルターは時間の経過とともに一定の特性を持ちますが、適応フィルターなどの他のフィルターは時間の経過とともに変化します。
• 安定したフィルターは、時間の経過とともに一定値に収束する、または有限の間隔内で制限されたままになる出力を生成します。不安定なフィルターは、制限された入力またはゼロの入力でも、制限なく増加する出力を生成する場合があります。
• 有限インパルス応答(FIR) フィルターは入力信号のみを使用しますが、無限インパルス応答(IIR) フィルターは入力信号と出力信号の前のサンプルの両方を使用します。FIR フィルターは常に安定していますが、IIR フィルターは不安定になる場合があります。

フィルタはブロック ダイアグラムで表すことができ、これを使用してサンプル処理アルゴリズムを導出し、ハードウェア命令でフィルタを実装することができます。フィルタは、差分方程式、ゼロと極の集合、またはインパルス応答やステップ応答として記述することもできます。

一部のデジタル フィルタは高速フーリエ変換に基づいています。これは、信号の周波数スペクトルをすばやく抽出する数学アルゴリズムで、スペクトルを操作 (非常に高次のバンドパス フィルタを作成するなど) してから、変更されたスペクトルを逆 FFT 演算で時系列信号に変換します。これらのフィルタの計算コストは​​ O(n log n) ですが、従来のデジタル フィルタの計算コストは​​ O(n ² ) になる傾向があります。

デジタル フィルタの別の形式は、状態空間モデルです。よく使用される状態空間フィルタは、 1960 年にルドルフ カルマンが発表したカルマン フィルタです。

従来の線形フィルタは通常、減衰に基づいています。代わりに、エネルギー転送フィルタ^[14]などの非線形フィルタを設計することもできます。これにより、ユーザーはエネルギーを設計された方法で移動できるため、不要なノイズや効果を新しい周波数帯域に移動できます。周波数範囲に分散したり、分割したり、集中したりできます。エネルギー転送フィルタは、従来のフィルタ設計を補完し、フィルタ設計に多くの自由度をもたらします。デジタルエネルギー転送フィルタは、設計が比較的簡単で、実装して非線形ダイナミクスを活用するのが簡単です。

• ベッセルフィルタ
• 双一次変換
• バターワースフィルタ
• チェビシェフフィルタ
• 電子フィルター
• 楕円フィルタ（カウアーフィルタ）
• フィルター設計
• ハイパスフィルタ、ローパスフィルタ
• 無限インパルス応答、有限インパルス応答
• リンクウィッツ・ライリーフィルタ
• マッチしたフィルタ
• サンプル（信号）
• サビツキー・ゴレイフィルタ
• 2次元フィルタ

• JO Smith III、「オーディオ アプリケーション向けデジタル フィルター入門」、スタンフォード大学音楽音響コンピューター研究センター (CCRMA)、2007 年 9 月版。
• Mitra, SK (1998).デジタル信号処理: コンピュータベースのアプローチ. ニューヨーク: McGraw-Hill.
• Oppenheim, AV ; Schafer, RW (1999).離散時間信号処理. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 9780137549207。
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