sl2-トリプル

リー代数の理論において、sl ₂トリプルは、特殊線型リー代数sl ₂の標準生成元間の交換関係を満たすリー代数の要素のトリプルである。この概念は、半単純リー代数の理論、特にその冪零軌道に関して重要な役割を果たしている。

リー代数gの元{ e , h , f }がsl2-_三重体を形成するのは、

${\displaystyle [h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.}$

これらの交換関係は、生成器によって満たされる。

${\displaystyle h={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad e={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\quad f={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

トレースがゼロの 2 行 2 列の行列のリー代数sl ₂の。したがって、gのsl ₂トリプルは、 sl _2からgへのリー代数準同型と全単射に対応します。

sl ₂トリプルの要素の別の表記は { H , X , Y } であり、Hはh、X はe、Y はfに対応します。 H は中立、 X は nilpositive、 Y は nilnegative と呼ばれます。

g が特性 0 の体上の有限次元リー代数であると仮定する。リー代数sl ₂の表現論から、リー代数g は有限次元部分空間の直和に分解され、各部分空間は最高重みjを持つ( j + 1) 次元単純sl ₂加群V _{jに同型であることが結論される。} sl ₂三つ組の元hは半単純で、 g の部分加群上の単純固有値j、j − 2、...、 − j はV _jに同型である。元eとf はhの異なる固有空間間を移動し、 eの場合は固有値が 2 増加し、 fの場合は固有値が 2 減少する。特に、eとf はリー代数gの冪零元である。

逆に、ヤコブソン・モロゾフの定理は、半単純リー代数gの任意の冪零元e はsl ₂ -三重項 { e , h , f }に含めることができ、そのような三重項はすべて、リー代数gに対応する随伴リー群Gにおけるeの中心化群Z _G ( e )の作用の下で共役であることを述べています。

gの与えられた冪零元e を含む任意のsl ₂三つ組の半単純元h はeの特性と呼ばれます。

sl _{2トリプルは}、hの固有値に応じてgのグレーディングを定義します。

${\displaystyle g=\bigoplus _{j\in \mathbb {Z} }g_{j},\quad [h,a]=ja{\ \ }{\textrm {for}}{\ \ }a\in g_{j}.}$

sl ₂トリプルは、この分解で j が偶数だけ出現する場合は偶数と呼ばれ、そうでない場合は奇数と呼ばれます。

g が半単純リー代数である場合、 g _{0 は}gの簡約リー部分代数です（一般に半単純ではありません）。さらに、非負の固有値を持つhの固有空間の直和は、レヴィ成分g _0を持つgの放物型部分代数です。

sl ₂トリプルの要素が正則である場合、その範囲は主部分代数と呼ばれます。

• アフィン・ワイル群
• 有限コクセター群
• ハッセ図
• 線型代数群
• べき乗軌道
• ルートシステム
• 特殊線形リー代数
• ワイル群

• AL Onishchik、EB Vinberg、VV Gorbatsevich、「リー群とリー代数の構造」。リー群とリー代数、III。数学百科事典、41。Springer-Verlag、ベルリン、1994年。iv+248ページ。（「数学における現在の問題。基本的な方向性。第41巻、Akad。Nauk SSSR、Vsesoyuz。Inst。Nauchn。i Tekhn。Inform。、モスクワ、1990年。V。Minachinによる翻訳。AL OnishchikとEB Vinbergによる翻訳編集）ISBN  3-540-54683-9
• VL Popov、EB Vinberg、 「不変理論。代数幾何学。IV。線型代数群。数学百科事典、55。Springer-Verlag、ベルリン、1994年。vi+284ページ。（代数幾何学。4、Akad。Nauk SSSR Vsesoyuz。Inst。Nauchn。i Tekhn。Inform。、モスクワ、1989年の翻訳。AN ParshinとIR Shafarevichによる翻訳）ISBN 3-540-54682-0