積分線形演算子

数学的解析において、積分線形演算子は積分によって与えられる線形演算子Tである。すなわち、

${\displaystyle (Tf)(x)=\int f(y)K(x,y)\,dy}$

ここで、は統合カーネルと呼ばれます。 ${\displaystyle K(x,y)}$

より一般的には、積分双線型形式は、局所凸位相ベクトル空間(TVS) XとYの入射テンソル積である の連続双対空間に属する双線型関数です。積分線型演算子は、積分双線型形式から標準的な方法で生じる連続線型演算子です。 ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

これらの写像は、核空間と核写像の理論において重要な役割を果たします。

XとYを局所凸 TVS とし、 を射影テンソル積、をその完備化、 を入射テンソル積、をその完備化とします。 をその完備化への TVS 埋め込みとし、 をその転置、つまりベクトル空間同型とします。これにより、 の連続双対空間が の連続双対空間と同一であることが示されます。 ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

を恒等写像、をその転置とします。これは連続的な注入です。 は 上の連続双線型写像の空間である と正準に同一視されることを思い出してください。このように、 の連続双対空間はのベクトル部分空間として正準に同一視でき、 によって表されます。 の元は上の積分(双線型)形式と呼ばれます。次の定理は、積分 という言葉を正当化します。 ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$

^{また、上記の定理と密接に関連する定式化[3]}もあり、これは積分双線型形式という用語の説明にも使用できます。局所凸空間の積上の連続双線型形式が積分であるための必要十分条件は、 （必然的に有界な）正のラドン測度とバナッハ空間との間の連続線型写像を備えたコンパクトな位相空間が存在し、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu )}$

${\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }$、

つまり、その形式は、（本質的に有界な）関数をコンパクト空間上で積分することによって実現できます。 ${\displaystyle u}$

連続線型写像は、それに関連する双線型形式が積分双線型形式である場合に積分と呼ばれます。ここで、この形式は によって定義されます。^[4]したがって、積分写像は次の形式になります。^[4]${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

および の適切な弱閉部分集合SおよびTと、全質量 ≤ 1 の何らかの正のラドン測度に対して、等式が成り立ちます。 上記の積分は弱積分であるため、任意の に対して である場合に限り、等式が成り立ちます。${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle y\in Y}$${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

線型写像 が与えられれば、によって上の関連双線型形式と呼ばれる標準双線型形式 を定義できます。連続写像は、その関連双線型形式が整双線型形式である場合に、整と呼ばれることがあります。 ^[5]整写は、任意のおよびに対して、次の形式になります。 ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$${\displaystyle X\times Y'}$${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y'\in Y'}$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

およびの適切な弱閉かつ等連続な部分集合およびと、全質量 の何らかの正のラドン測度に対して。 ${\displaystyle A'}$${\displaystyle B''}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y''}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \leq 1}$

次の結果は、積分写像がヒルベルト空間を「因数分解」することを示しています。

命題: ^[6]がYハウスドルフの局所凸TVSと完全との間の積分写像である とする。ヒルベルト空間Hと2つの連続線型写像とが存在し、となる。 ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \alpha :X\to H}$${\displaystyle \beta :H\to Y}$${\displaystyle u=\beta \circ \alpha }$

さらに、2つのヒルベルト空間間のすべての積分作用素は核である。^{[6]したがって、2つの}ヒルベルト空間間の連続線型作用素が核となるのは、それが積分である場合に限ります。

全ての核写像は積分である。^[5] 重要な部分逆は、2つのヒルベルト空間間の全ての積分演算子は核であるということである。^[6]

A、B、C、Dがハウスドルフ局所凸TVSであり、、、およびがすべて連続線型演算子であるとします。が積分演算子である場合、合成も積分演算子です。^[6]${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$

が2つのノルム空間間の連続線型作用素である場合、が 積分となるのは、が積分となる場合のみである。^[7]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X'}$

が局所凸TVS間の連続線型写像であるとする。が積分であれば、その転置も積分である。[5] ここで、^連続線型写像の 転置が積分であるとする 。 が積分となるのは、標準注入（ xでの値で定義）とがTVS埋め込みである場合である（これは、たとえば、およびが樽型または距離化可能である場合に発生する）。^[5]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X''}$${\displaystyle x\mapsto }$${\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{b}^{\prime }}$

A、B、C、Dがハウスドルフ局所凸TVSで、BとDが 完全であるとする。、、がすべて整線型写像であれば、それらの合成は核となる。^[6] したがって、特に、Xが無限次元のフレシェ空間であれば、連続線型射影は積分作用素にはなり得ない。 ${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$${\displaystyle u:X\to X}$

• 補助正規空間
• 最終的なトポロジー
• 入射テンソル積
• 原子力事業者
• 核空間
• 射影テンソル積
• 位相テンソル積

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• ncatlab の核空間