ヒルベルト・シュミット演算子

数学において、ヒルベルト・シュミット作用素は、ダヴィッド・ヒルベルトとエルハルト・シュミットにちなんで名付けられた有界作用素である。${\displaystyle A\colon H\to H}$ヒルベルト空間に作用する${\displaystyle H}$有限のヒルベルト・シュミットノルムを持つ

$${\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

どこ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$は正規直交基底である。^{[ 1 ] [ 2 ]}インデックス集合${\displaystyle I}$可算である必要はない。ただし、右辺の和は、意味を持つためには、最大で可算個の非ゼロ項を含まなければならない。^{[ 3 ]}この定義は、正規直交基底の選択に依存しない。有限次元ユークリッド空間では、ヒルベルト・シュミットノルムは${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$はフロベニウスノルムと同一である。

ヒルベルト・シュミットノルムは正規直交基底の選択に依存しない。実際、${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$そして${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$そのような基盤は、 $${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$ もし${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$それから${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$任意の有界作用素について、${\displaystyle A=A^{**}.}$交換する${\displaystyle A}$と${\displaystyle A^{*}}$最初の式では、${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$独立はそれに続く。

重要な例として、ヒルベルト・シュミット積分作用素が挙げられます。有限次元の値域を持つ有界作用素（有限ランク作用素と呼ばれる）はすべてヒルベルト・シュミット作用素です。ヒルベルト空間上の恒等作用素がヒルベルト・シュミット作用素となるのは、ヒルベルト空間が有限次元である場合に限ります。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle H}$、 定義する${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$による${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$これはランク 1 の連続線形作用素であり、したがってヒルベルト・シュミット作用素である。さらに、任意の有界線形作用素に対して、${\displaystyle A}$の上${\displaystyle H}$（そして${\displaystyle H}$)${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$[ ^{4 ]​}

もし${\displaystyle T:H\to H}$は固有値を持つ有界コンパクト作用素である${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$の${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$ここで、各固有値はその重複度と同じ回数だけ繰り返される。${\displaystyle T}$ヒルベルト・シュミットであるのは、${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$この場合、ヒルベルト・シュミットのノルムは${\displaystyle T}$は${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$[ ^{5 ]​}

もし${\displaystyle k\in L^{2}\left(X\times X\right)}$、 どこ${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$が測度空間である場合、積分演算子${\displaystyle K:L^{2}\left(X\right)\to L^{2}\left(X\right)}$カーネル付き${\displaystyle k}$はヒルベルト・シュミット演算子であり、${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$[ ^{5 ]逆に}、有界作用素が${\displaystyle L^{2}\left(X\right)}$ヒルベルト・シュミットの場合、それはこの形式の積分演算子として書くことができる。^{[ 6 ]}

2 つのヒルベルト・シュミット作用素の積は有限のトレースクラスノルムを持つ。したがって、AとBが 2 つのヒルベルト・シュミット作用素である場合、ヒルベルト・シュミット内積は次のように定義できる。

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {tr} (B^{*}A)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

ヒルベルト・シュミット作用素は、 H上の有界作用素のバナッハ代数において両側*-イデアルを形成する。また、ヒルベルト空間B _HS ( H )またはB ₂ ( H )と表記されるヒルベルト空間も形成し、この空間はヒルベルト空間のテンソル積と自然に等長同型であることが示される。

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

ここでH ^∗はHの双対空間である。この内積によって誘導されるノルムはヒルベルト・シュミットノルムであり、このノルムの下ではヒルベルト・シュミット作用素の空間は完備である（したがって、ヒルベルト空間となる）。^{[ 4 ]} 有限ランクのすべての有界線形作用素（すなわち、有限次元の値域を持つもの）の空間は、ヒルベルト・シュミット作用素の空間（ヒルベルト・シュミットノルムを持つ）の稠密な部分集合である。^{[ 4 ]}

ヒルベルト・シュミット作用素の集合がノルム位相において閉じているのは、Hが有限次元である場合に限る。

• すべてのヒルベルト・シュミット作用素T  : H → Hはコンパクト作用素である。^{[ 5 ]}
• 有界線形作用素T  : H → Hがヒルベルト・シュミットであるのは、作用素がヒルベルト・シュミットであるとき、かつそのときに限る。${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$この場合、ヒルベルト・シュミットのノルムは${\displaystyle T}$そして${\textstyle \left|T\right|}$等しい。^{[ 5 ]}
• ヒルベルト・シュミット作用素は2次の核作用素であり、したがってコンパクト作用素である。^{[ 5 ]}
• もし${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$そして${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$ヒルベルト空間間のヒルベルト・シュミット作用素である場合、合成${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$原子力発電所の運転員である。^{[ 3 ]}
• T  : H → Hが有界線形作用素である場合、${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$[ ^{5 ]​}
• Tがヒルベルト・シュミット作用素であるのは、トレースが${\displaystyle \operatorname {tr} }$非負自己共役演算子の${\displaystyle T^{*}T}$有限である場合、${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {tr} (T^{*}T)}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
• T  : H → H がH上の有界線形作用素であり、S  : H → HがH上のヒルベルト・シュミット作用素である場合、${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$、${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$、 そして${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$^{[ 5 ]}特に、2 つのヒルベルト・シュミット演算子の合成は、再びヒルベルト・シュミット演算子（トレースクラス演算子）になります。^{[ 5 ]}
• H上のヒルベルト・シュミット作用素の空間は、有界作用素の空間のイデアルである。${\displaystyle B\left(H\right)}$有限ランクの演算子を含む。^{[ 5 ]}
• AがH上のヒルベルト・シュミット作用素である場合、$${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$どこ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$はHの正規直交基底であり、${\displaystyle \|A\|_{2}}$シャッテンノルムは${\displaystyle A}$p = 2の場合。ユークリッド空間では、${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$これはフロベニウスノルムとも呼ばれます。

• フロベニウス内積– 2つの行列を受け取り、スカラーを返す二項演算 
• サゾノフの定理
• トレースクラス– 有限トレースを定義できるコンパクト演算子 

• コンウェイ、ジョン・B. (1990).関数解析入門. ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-97245-9OCLC 21195908​​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 3巻. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• リード、マイケル；サイモン、バリー（1980）。現代数理物理学の方法：関数解析。アカデミックプレス。