左右対称行列

数学において、対称行列は、両方の主対角線について対称な正方行列です。より正確には、n × n行列Aは、 A = A ^T (それ自体が転置行列である) とAJ = JA ( Jはn × n交換行列) の両方を満たす場合に対称行列となります。

例えば、次のような行列は

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{12}&a_{ 22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{14}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{12}\\a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\end{bmatrix}}}$$

は左右対称である。この例に 関連する交換行列は${\displaystyle 5\times 5}$

${\displaystyle J_{5}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

• 双対称行列は、対称中心対称行列と対称非対称行列の両方です。
• 2 つの左右対称行列の積は中心対称行列です。
• 実数値の双対称行列とは、交換行列による乗算の前または後の乗算後の符号の変化を除いて、固有値が同じままである対称行列のことです。^[1]
• Aが異なる固有値を持つ実対称行列である場合、 Aと可換な行列は必ず対称行列となる。^[2]
• 対称行列の逆行列は漸化式で表すことができる。^[3]