シュールクラス

複素解析において、シューア類は、開単位円板上で定義され、シューア問題を解くことを満たす正則関数 の集合である。複素数が与えられたとき、関数を見つける。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$${\displaystyle c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}z^{j}+\sum _{j=n+1}^{\infty }f_{j}z ^{j}}$

これは解析的であり、単位円上で1で有界です。 ^[1]この問題や類似の問題（テプリッツ系やネヴァンリンナ・ピック補間の解決など）を解く方法は、シュアーアルゴリズム（係数ストリッピングまたはレイヤーストリッピングとも呼ばれます）として知られています。このアルゴリズムの最も重要な特性の1つは、 n + 1個 の直交多項式を生成することです。これは、任意のn次多項式を展開するための正規直交基底関数として使用できます。 ^[2]これはレビンソンアルゴリズムと密接に関連していますが、シュアーアルゴリズムは数値的に安定しており、並列処理に適しています。^[3]

単位円上の唯一 の確率測度のカラテオドリ関数を考える。${\displaystyle d\mu}$${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$

${\displaystyle F(z)=\int {\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}d\mu (\theta )}$

ここで はを意味する。^[4]すると、 ${\displaystyle \int d\mu (\theta )=1}$${\displaystyle F(0)=1}$

${\displaystyle F(z)={\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}}}$

逆公式によって与えられる カラテオドリ関数とシューア関数 の間に一対一の対応を設定します。${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=z^{-1}\left({\frac {F(z)-1}{F(z)+1}}\right)}$

シューアのアルゴリズムは、メビウス変換に基づく反復的な構成で、あるシューア関数を別のシューア関数にマッピングします。^{[4] [5]}このアルゴリズムは、シューア関数とシューアパラメータ（ヴェルブランスキー係数または反射係数とも呼ばれる）の無限列を再帰的に定義します。^[6]${\displaystyle f\equiv f_{0},f_{1},\dotsc ,f_{n},\dotsc }$ ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\dotsc ,\gamma _{n},\dotsc }$

${\displaystyle f_{j+1}={\frac {1}{z}}{\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}},\quad f_{j}(0)\equiv \gamma _{j}\in \mathbb {D} ,}$

のとき停止する。この変換を反転すると、 ${\displaystyle f_{j}(z)\equiv e^{i\theta }=\gamma _{j}\in \mathbb {T} }$

${\displaystyle f(z)\equiv f_{0}(z)={\frac {\gamma _{0}+zf_{1}(z)}{1+{\overline {\gamma _{0}} }zf_{1}(z)}}}$

あるいは、シュア関数の 連分数展開として

${\displaystyle f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}} +{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}$

繰り返し事実を利用して

${\displaystyle f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}} +{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}。$

• 単位円上の直交多項式
• セゲー多項式