同期フレーム

同期フレームは、時間座標がすべての共動観測者にとっての固有時間を定義する参照フレームです。これは、すべての点で時間線に沿った法線を持ち、その点に頂点を持つ光円錐を構築できるような、一定の時間超曲面を原点として選択することによって構築されます。この超曲面上のすべての区間要素は空間的です。この超曲面に垂直な測地線の族が描かれ、超曲面を始点とする時間座標として定義されます。計量テンソル成分の観点から、同期フレームは次のように定義されます。 ${\displaystyle g_{ik}}$

${\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0}$

このような構成、つまり同期フレームの選択は、一意ではありませんが、常に可能です。これにより、時間に依存しない空間座標の変換が可能になり、さらに、この幾何学的構成に使用される超曲面の任意の選択によってもたらされる変換が可能になります。 ${\displaystyle \alpha =1,2,3.}$

異なる空間点にある時計の同期とは、異なる場所で起こっている出来事が、それらの時計が同じ時間を示している場合、同時であると測定できることを意味します。特殊相対性理論では、空間距離要素dl は、同じ瞬間に起こる 2 つの非常に近い出来事の間隔として定義されます。一般相対性理論では、これはできません。つまり、dt ≡ dx ^{0 = 0 を}メトリックに代入するだけではdl を定義することはできません。その理由は、異なる空間点での固有時間と時間座標x ⁰ ≡ tの間の依存関係が異なるためです。つまり、 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$

この場合、 dl を見つけるには、次の方法で 2 つの微小隣接ポイント間で時間を同期できます (図 1)。ボブは、座標のある空間ポイントBから、座標x ^αの非常に近いポイントAにいるアリスに光信号を送信し、アリスはすぐに信号をボブに反射します。この操作に必要な時間 (ボブによって測定) にcを掛けると、明らかに、アリスとボブの間の距離の 2 倍になります。 ${\displaystyle x^{\alpha}+dx^{\alpha}}$

空間座標と時間座標が分離された 線要素は次のようになります。

ここで、項内のギリシャ語のインデックスの繰り返しは、値 1、2、3 による合計を意味します。信号が到着してからその直後に反射してポイントAに戻るまでの間隔は0 です (到着と反射という 2 つのイベントが、空間と時間の同じポイントで発生しています)。光信号の場合、空間と時間の間隔は 0 なので、上記の式を設定すると、 dx ⁰を解いて 2 つの根を得ることができます。 ${\displaystyle ds=0}$

${\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

これらはアリスとボブの間の両方向の信号の伝搬に対応します。x ⁰がボブの時計におけるアリスへの信号到着/アリスからの信号反射の瞬間である場合、ボブからの信号の出発とボブへの信号の戻りの瞬間は、それぞれx ⁰ + dx ^{0 (1)}とx ⁰ + dx ^{0 (2)}に対応します。図 1 の太線は、それぞれ座標x ^αとx ^α + dx ^αを持つアリスとボブの世界線であり、赤い線は信号の世界線です。図 1では、 dx ^{0 (2)}が正でdx ^{0 (1)}が負であると想定していますが、必ずしもそうであるとは限りません。dx 0 ⁽¹⁾とdx ^{0 (2)}は同じ符号を持つ場合があります。後者の場合、アリスの位置への信号到着の瞬間の値x ^{0 (アリス) がボブの位置からの信号出発の瞬間の値}x ⁰ (ボブ) よりも小さいという事実は、空間の異なる点にある時計は同期していないはずなので矛盾ではありません。ボブの位置での信号の出発と到着の間の完全な「時間」間隔は、

${\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.}$

それぞれの適切な時間間隔は、上記の関係に を掛けて得られ、 2 点間の距離dl はさらにc /2 を掛けて得られます。結果として、 ${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c}$

これは、空間座標要素を通じて距離を定義する必須の関係です。

このような同期は、点間の光信号の交換によって行われるべきであることは明らかである。図1の極めて近い点AとBの間の信号の伝播をもう一度考えてみよう。Aでの反射の瞬間と同時のBの時計の読みは、 Bでの信号の送信と受信の瞬間の中間にある。この瞬間にアリスの時計がy ⁰を示し、ボブの時計がx ^{0を示している場合、}アインシュタインの同期条件により、

${\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

ここで式2を代入して、無限に近い地点で同時に発生する2つのイベント間の 「時間」 x ⁰の差を求めます。

この関係により、どんな極小の空間体積でも時計の同期が可能になります。このような同期を点Aからさらに続けることで、時計を同期させることができます。つまり、開いた線に沿ってイベントの同時性を決定することができます。同期条件は、式4にg ₀₀を掛けて、項を左辺に 移動することで別の形式で表すことができます。

または、2 つの極めて近い点間の「共変微分」dx ₀はゼロになるはずです。

しかし、一般的には、閉じた輪郭に沿って時計を同期させることは不可能です。輪郭に沿って出発し、出発点に戻ると、ゼロとは異なる Δ x ^{0値が得られます。したがって、空間全体にわたって時計を明確に同期させることは不可能です。例外は、すべてのコンポーネント}g _0αがゼロである参照フレームです。

すべての時計を同期できないのは、基準フレームの特性であり、時空自体の特性ではありません。どの重力場でも、3 つのg _{0α が}ゼロになるように基準フレームを選択し、時計を完全に同期させることは、無限の方法で常に可能です。このクラスには、空間座標を定義するオブジェクトのシステムの選択を伴わない、時間座標の単純な変更によってg _0αをゼロにできるケースが割り当てられます。

特殊相対性理論でも、相対的に動く時計ごとに固有時間の経過は異なります。一般相対性理論では、同じ基準系でも空間の異なる地点では固有時間が異なります。つまり、ある空間点で発生する 2 つのイベント間の固有時間の間隔と、別の空間点で発生するイベントと同時に発生するイベント間の時間間隔は、一般に異なります。

円筒座標と時間で表現された静止（慣性）フレームを考えてみましょう。このフレームの間隔は次のように与えられます。関係を使用して一様回転座標系に変換すると、間隔は次のように変更されます。 ${\displaystyle r'\,\phi ',\,z'}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt'^{2}-dr'^{2}-r'^{2}d\phi '^{2}-dz'^{2}。 }$${\displaystyle (r,\phi,z)}$${\displaystyle x^{0}/c=t=t',\,x^{1}=r=r',\,x^{2}=\phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'}$

${\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-\Omega ^{2}r^{2})dt^{2}-2\Omega r^{2}d\phi dt-dr^{2}-r^{2}d\phi ^{2}-dz^{2}.}$

もちろん、回転フレームは、この半径位置を超えるとフレームの速度が光速を超えるため、 に対してのみ有効です。計量テンソルの非ゼロ成分は、およびです。任意の開曲線に沿って、関係 ${\displaystyle r<c/\Omega }$${\displaystyle g_{00}=1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2},}$ ${\displaystyle g_{02}=-2\Omega r^{2}/c,}$ ${\displaystyle g_{11}=-1,}$ ${\displaystyle g_{22}=-r^{2}}$${\displaystyle g_{33}=-1.}$

${\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}dx^{\alpha }={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\phi }$

時計を同期させるために使用できる。しかし、閉曲線上では同期は不可能であるため、

${\displaystyle \oint \Delta x^{0}=\oint {\frac {d\phi \Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.}$

例えば、のとき、 ${\displaystyle \Omega r/c\ll 1}$

${\displaystyle \oint \Delta x^{0}={\frac {\Omega }{c}}\oint r^{2}d\phi =\pm {\frac {2\Omega }{c}}S}$

ここで、回転軸に垂直な平面上の閉曲線の投影面積です（プラスまたはマイナスの符号は、回転方向の輪郭線または回転方向の反対方向の輪郭線に対応します）。 ${\displaystyle S}$

回転フレームにおける固有時間要素は次のように与えられる。

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {axis} }}$

軸から離れるにつれて時間が遅くなることを示しています。同様に空間要素を計算すると、

${\displaystyle dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi ^{2}}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}+dz^{2}\right]^{1/2}.}$

との固定値では、空間要素はとなり、これを円周にわたって積分すると、円周と半径の比は次のように表されることがわかる。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle z}$${\displaystyle dl=(1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2})^{-1/2}rd\phi }$

${\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}}}$

これは よりも大きいです。 ${\displaystyle 2\pi }$

式3は次のように書き直すことができる。

どこ

は、計量、つまり空間の幾何学的性質を決定する3次元計量テンソルです。方程式7は、 3次元空間の計量と4次元時空の計量の関係を示しています。 ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g_{ik}}$

しかし、一般には、はx ⁰に依存するため、それは時間とともに変化します。したがって、 dl を積分しても意味がありません。この積分は、積分が行われる 2 つの点間の世界線の選択に依存します。したがって、一般相対性理論では、2 つの物体間の距離は一般に決定できません。この距離は、無限に近い点についてのみ決定されます。有限空間領域の距離は、g _{ik が}時間に依存せず、したがって空間曲線に沿った積分が明確な意味を持つような参照フレームでのみ決定できます。 ${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\textstyle \int dl}$

テンソルは反変 3 次元テンソルの逆テンソルです。実際、方程式を要素で書くと次のようになります。 ${\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}$

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

${\displaystyle g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.}$

2番目の式から 決定し、それを最初の式に代入すると、次のことが証明されます。${\displaystyle g^{\alpha 0}}$

この結果は、 が計量 に対応する反変 3 次元テンソルの要素であると表現することもできます。 ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }}$

行列式gと はそれぞれ要素とから構成され、次の単純な関係で互いに関連しています。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$

多くの応用では、共変成分を持つ 3次元ベクトルgを定義すると便利である。

g を計量 を持つ空間のベクトルとして考えると、その反変成分は と書くことができる。式 11と式 8の 2 番目を使うと、次のことが簡単にわかる。 ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}$

式8の3番目から次の式が導かれる 。

式5から結論付けられるように、異なる空間点で時計を同期させる条件は、計量テンソル成分g _0αがゼロであることです。さらに、g ₀₀ = 1の場合、時間座標x ⁰ = tは各空間点（ c = 1）の固有時間です。条件を満たす基準フレームは、

は同期フレームと呼ばれる。このシステムにおける間隔要素は、次の式で与えられる。

空間計量テンソルの成分はgαβ_の成分と同一（符号は反対）である：

同期フレーム時間では、時間線は超曲面t = const に対して垂直です。実際、このような超曲面n _i = ∂ t /∂ x ⁱに対して垂直な単位 4 次元ベクトルには、共変成分n _α = 0、n ₀ = 1 があります。条件式 15を持つそれぞれの反変成分は、再びn ^α = 0、n ⁰ = 1 です。

単位法線の成分は、世界線x ¹、x ²、x ³ = constに接する4 元ベクトルu ⁱ = dx ⁱ /dsの成分と一致します。u α = 0、u ⁰ = 1の成分を持つu ^{i は、}自動的に測地線方程式を満たし^ます。

${\displaystyle {\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,}$

なぜなら、条件式15から、クリストッフェル記号とが同一に消えるからである。したがって、同期フレームでは、タイムラインは時空内の測地線である。 ${\displaystyle \Gamma _{00}^{\alpha }}$${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}}$

これらの特性は、任意の時空で同期フレームを構築するために使用できます (図 2)。このためには、原点として、あらゆる点でタイムラインに沿った法線 (その点に頂点がある光円錐の内側にある) を持つような空間的 超曲面を選択します。この超曲面上のすべての区間要素は空間的です。次に、この超曲面に垂直な測地線の族を描きます。これらの線を時間座標線として選択し、時間座標t を、超曲面を始点として測定された測地線の長さsとして定義します。結果は同期フレームです。

同期フレームへの解析的変換は、ハミルトン・ヤコビ方程式を用いて行うことができる。この方法の原理は、重力場における粒子の軌道が測地線であるという事実に基づいている。重力場における粒子（質量が1に等しい）の ハミルトン・ヤコビ方程式は、

ここで、Sは作用です。その完全積分は次の形式になります。

完全積分には独立変数の数と同じ数の任意定数が含まれることに注意してください。この場合は です。上記の式では、これらは3つのパラメータξ ^αに対応し、4番目の定数A は3つのξ ^αの任意関数として扱われます。S のこのような表現により、粒子の軌道の式は導関数∂S / ∂ξ ^{α を}ゼロに等しくすることで得られます。つまり、 ${\displaystyle 4}$

パラメータξ ^αに割り当てられた値の各セットについて、方程式18a-18cの右辺は明確な定数を持ち、これらの方程式によって決定される世界線は粒子の可能な軌道の 1 つです。軌道に沿って定数である量ξ ^αを新しい空間座標として選択し、量S を新しい時間座標として選択すると、同期フレームが得られます。古い座標から新しい座標への変換は、方程式18b-18cによって与えられます。実際、このような変換では、時間線が測地線になり、超曲面S = constに垂直になることが保証されます。後者の点は、力学的な類推から明らかです。超曲面に垂直な4 元ベクトル∂S / ∂x ^{i は}、力学上は粒子の 4 元運動量と一致し、したがって方向は粒子の 4 元速度u ⁱ 、すなわち軌道に接する 4 元ベクトルと一致します。最後に、軌道に沿った作用の導関数 − dS / ds は粒子の質量であり、1 に設定されているため、条件g ₀₀ = 1 は明らかに満たされます。したがって、| dS / ds | = 1 です。

ゲージ条件式 15 は座標系を完全には固定しないため、固定ゲージではありません。これは、 における空間的超曲面が任意に選択できるためです。3 つの空間変数x ^αに依存する 4 つの任意の関数を含む座標変換を自由に実行できます。これは、無限小形式で簡単に計算できます。 ${\displaystyle t=0}$

ここで、4 つの古い座標 ( t、x ^α ) と 4 つの新しい座標の集合は、それぞれ記号xとで表されます。関数とその 1 次導関数は、無限に小さい量です。このような変換の後、4 次元区間は次の形式になります。 ${\displaystyle ({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x}})}$

どこ

最後の式では、 は関数g _ik ( x ) と同じで、xは に置き換えられます。新しい座標の新しい計量テンソルに対してもゲージ方程式 15 を保存したい場合は、関数に次の制限を課す必要があります。 ${\displaystyle g_{ik}({\tilde {x}})}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \xi ^{i}({\acute {x}})}$

これらの方程式の解は次のとおりです。

ここで、f ⁰とf ^{α は}空間座標のみに依存する4つの任意の関数です。 ${\displaystyle {\tilde {x}}^{\alpha }}$

より基本的な幾何学的説明については、図 2 を参照してください。まず、同期タイムラインξ ⁰ = t は任意に選択できます (ボブ、キャロル、ダナ、または無限に多くの観察者のいずれか)。これにより、任意に選択された 1 つの関数が作成されます。次に、初期超曲面は無限に多くの方法で選択できます。これらの選択のそれぞれにより、3 つの関数が変更されます。つまり、3 つの空間座標のそれぞれに対して 1 つの関数です。合計で、4 つ (= 1 + 3) の関数が任意です。 ${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$

同期ゲージにおける場の方程式の一般解g _αβについて議論する場合、重力ポテンシャルg _αβには、そこに含まれるすべての可能な任意の関数パラメータのうち、ゲージの自由度を表すだけの 3 次元空間の任意の関数が 4 つ含まれており、したがって、直接的な物理的意味を持たないことに留意する必要があります。

同期フレームのもう 1 つの問題は、コースティクスが発生してゲージの選択が崩れる可能性があることです。これらの問題により、同期フレームで宇宙論的摂動論を実行するのにいくつかの困難が生じましたが、現在ではこれらの問題は十分に理解されています。同期座標は、計算を行うための最も効率的な参照システムであると一般に考えられており、 CMBFASTなどの多くの最新の宇宙論コードで使用されています。同期座標は、空間的特異点など、空間的超曲面を固定する必要がある理論的問題を解決するのにも役立ちます。

同期フレームの導入により、アインシュタイン場の方程式における空間微分と時間微分の操作を分離することができる。より簡潔にするために、表記法は次のようになる。

は、 3次元計量テンソルの時間微分に対して導入されます。これらの量も3次元テンソルを形成します。同期フレームでは、は2番目の基本形式（形状テンソル）に比例します。テンソルのインデックスシフトと共変微分のすべての操作は、計量γ _αβを使用して3次元空間で行われます。これは、4次元テンソルR _ik、T _ikの空間成分でのインデックスシフトの操作には適用されません。したがって、T _α ^{β は、} g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α}と理解する必要があり、これはg ^βγ T _γαに簡約され、 γ ^βγ T _γαとは符号が異なります。合計は、行列式γ ≡ | γ _αβ | = − gの対数微分です。 ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$

すると、クリストッフェル記号 の完全な集合は次のようになります。 ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}$

ここで、 γ _αβから構成される3次元クリストッフェル記号は次のようになります。 ${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

ここで、コンマはそれぞれの座標による偏微分を表します。

クリストッフェル記号式25を用いると、リッチテンソルの成分R ⁱ _k = g ^il R _lkは次の形式で表すことができます。

上の点は時間微分を表し、セミコロン (";") は共変微分を表します。この場合、共変微分は3 次元のクリストッフェル記号、を持つ 3 次元計量γ _αβに関して実行されます。また、P _α ^{β は}から構築される 3 次元のリッチテンソルです。 ${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$${\displaystyle \varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

式27～29から、アインシュタイン方程式（エネルギー運動量テンソルの成分T ₀ ⁰ = − T ₀₀、T _α ⁰ = − T _0α、T _α ^β = γ ^βγ T _γα）は同期フレームで次のようになることがわかります。 ${\displaystyle R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)}$

同期フレームの特徴は、それが静止していないことです。つまり、そのようなフレームでは重力場は一定ではありません。一定の場では、重力場はゼロになります。しかし、物質が存在する場合、すべてが消えることは式 31 (右辺がゼロではない)と矛盾します。式 33から、空の空間では、すべてのP _αβと、それとともに 3 次元曲率テンソルP _αβγδ (リーマン テンソル) のすべての成分が消える、つまり場が完全に消えます (ユークリッド空間計量を持つ同期フレームでは、時空は平坦です)。 ${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$

同時に、空間を満たす物質は、一般に同期フレームに対して静止していることはできない。これは、圧力がかかっている物質の粒子が一般に測地線ではない線に沿って動くことから明らかである。静止している粒子の世界線は時間線であり、したがって同期フレームでは測地線である。例外は塵の場合 ( p = 0) である。ここでは、相互作用する粒子は測地線に沿って動く。したがって、この場合、同期フレームの条件は、物質と共動するという条件と矛盾しない。この場合でも、同期共動フレームを選択できるようにするには、物質が回転せずに動く必要がある。共動フレームでは、速度の反変成分はu ⁰ = 1、u ^α = 0 である。フレームも同期している場合、共変成分はu ₀ = 1、u _α = 0 を満たす必要があり、その 4 次元の回転は消える必要がある。

${\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.}$

しかし、このテンソル方程式は、他のどの基準フレームでも有効でなければなりません。したがって、同期フレームではあるが共動フレームではない場合、3 次元速度vに対して curl v = 0 という条件がさらに必要になります。他の状態方程式の場合、同様の状況は、圧力勾配がすべての方向または特定の方向で消失する特殊な場合にのみ発生する可能性があります。

宇宙論の問題で同期フレームを使用するには、その漸近的動作を徹底的に調べる必要があります。特に、同期フレームが、このフレーム内の座標に関するすべての点の明確なラベル付けを常に維持しながら、無限時間と無限空間に拡張できるかどうかを知る必要があります。

閉じた輪郭に沿って時計を同期させることは不可能であるため、空間全体にわたって時計を明確に同期させることは不可能であることが示されました。無限時間にわたる同期に関しては、まず、すべての観測者のタイムラインは選択された超曲面に対して垂直であり、この意味で「平行」であることを思い出しましょう。伝統的に、平行性の概念はユークリッド幾何学において、どこでも互いに等距離にある直線を意味するように定義されていますが、任意の幾何学では、この概念は測地線である線を意味するように拡張できます。タイムラインは同期フレーム内の測地線であることが示されました。平行線のもう 1 つの、現在の目的に便利な定義は、すべての点が共通しているか、まったく共通していない線です。すべての点が共通している場合 (明らかに、同じ線) を除き、2 つのタイムラインに共通点がない平行性の定義に到達します。

同期フレーム内のタイムラインは測地線なので、これらの線は生成超曲面内のすべての観測者にとって直線（光の経路）となる。空間メトリックは

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$。

計量テンソルの行列式は、行列の行ベクトルの三重積の絶対値であり、これはベクトル 、 、 が張る平行六面体（つまり、隣接する辺がベクトル、、 である平行六面体）の体積でもあります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$

${\displaystyle \gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}}$

がゼロになると、この平行六面体の体積はゼロになります。これは、ベクトルの 1 つが他の 2 つのベクトルの平面にあり、平行六面体の体積が底面積に変換される (高さがゼロになる) 場合、またはより正式には、ベクトルの 2 つが線形従属である場合に発生します。ただし、複数の点 (交差点) を同じ方法でラベル付けできます。つまり、メトリックには特異点があります。 ${\displaystyle \gamma }$

ランダウグループ ^[1]は、同期フレームが必然的に時間特異点を形成すること、つまり有限時間内にタイムラインが交差する（そして、それぞれ計量テンソルの行列式がゼロになる）ことを発見しました。

これは次のように証明される。式31の右辺には物質と電磁場の 応力エネルギーテンソルが含まれており、

${\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}}$

は強いエネルギー条件のため正の数です。これは成分で書くと簡単にわかります。

物質について

${\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0}$

電磁場用

${\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0}$

上記を念頭に置いて、式31は不等式として書き直される 。

空の空間に関する平等性を伴う。

代数的不等式を使う

${\displaystyle \varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

式34は

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0}$。

両辺を等式で割ると ${\displaystyle \left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$

不平等に陥る

たとえば、ある瞬間に とします。導関数が正であるため、比は時間の減少とともに減少し、常に有限の非ゼロ導関数を持ち、したがって、有限の時間内に正の側からゼロになるはずです。言い換えると、は になり、 であるため、これは行列式がゼロになることを意味します(式 35によると、より速くはありません)。一方、最初は、時間の増加に対して同じことが当てはまります。 ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0}$${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t^{6}}$${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}$

特異点における空間についてのアイデアは、対角化された計量テンソルを考慮することによって得ることができます。対角化により、行列の要素は、 3 つの固有値とである主対角線を除くすべての場所でゼロになります。これらは、特性多項式の判別式がゼロ以上の場合は 3 つの実数値、判別式がゼロ未満の場合は1 つの実数値と 2 つの複素共役値です。この場合、行列式は 3 つの固有値の積になります。これらの固有値のうち 1 つだけがゼロになる場合、行列式全体がゼロになります。たとえば、実固有値がゼロ ( ) になるとします。この場合、対角化行列は、(一般に複素共役の) 固有値を主対角線上に置く 2 × 2 行列になります。ただし、この行列は、 の空間の対角化された計量テンソルです。したがって、上記は、特異点（）において、1つの固有値のみがゼロになるときに空間が2次元であることを示唆しています。 ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lambda _{1}=0}$${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

幾何学的には、対角化とは、行列を構成するベクトルの基底を、基底ベクトルの方向が固有ベクトルの方向と一致するように回転することです。 が実対称行列である場合、固有ベクトルは、長さ、幅、高さが 3 つの固有値の大きさである直方体を定義する正規直交基底を形成します。 この例は、平行六面体の体積でもある行列式が長さ × 幅 × 高さ、つまり固有値の積に等しいという点で特にわかりやすいものです。 平行六面体の体積を、たとえば高さを 0 にするなどして 0 にすると、平行六面体の 1 つの面、つまり面積が長さ × 幅である 2 次元空間だけが残ります。 消去を続けて幅を 0 にすると、長さの線、つまり 1 次元空間が残ります。さらに長さをゼロにすると、平行六面体があった場所を示す点、つまり 0 次元空間だけが残ります。 ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \gamma }$

幾何光学からの類推は、特異点とコースティクスの比較です。図 3 の明るいパターンは、右側から照らされたコップの水によって形成されるコースティクスを示しています。光線は、同期した超曲面上に局在する自由落下する観測者のタイムラインの類似物です。ガラスによって投げかけられた影の輪郭のほぼ平行な側面から判断すると、光源はガラスから実質的に無限の距離にあると推測できます (太陽など) が、写真には光源が示されていないため、これは確実ではありません。したがって、確実に証明されなくても、光線 (タイムライン) が平行であると想定できます。コップの水は、アインシュタイン方程式、またはタイムラインを曲げてコースティクス パターン (特異点) を形成するその背後にあるエージェントの類似物です。後者は、平行六面体の面ほど単純ではなく、さまざまな種類の交差が複雑に混在しています。 2次元、1次元、または0次元の空間の重なり、つまり面と線の混ざり合いを区別することができ、その一部は、コースティクスパターンの中心にある矢印の形成のように、点（尖点）に収束します。^{[2] [3]}

時間的測地線ベクトル場は有限時間の後に必然的に特異点に到達するという結論は、レイショードリーによって別の方法によって独立に到達されており、レイショードリー方程式を導きました。この方程式は、両研究者に敬意を表してランダウ-レイショードリー方程式とも呼ばれています。

• 法線座標
• 合同性（一般相対性理論） 、運動学的分解とレイチャウドゥリ方程式の導出。

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