エネルギー状態

相対論 的古典重力場理論、特に一般相対論では、エネルギー条件は「空間領域のエネルギー密度は負にはならない」という主張を相対論的に表現した数学的定式化である。理論の物質内容に適用できるような条件を表現する方法は複数考えられる。したがって、妥当な物質理論であればこの条件を満たすか、少なくとも初期条件で満たされる場合は条件を維持することが期待される。

エネルギー条件は、それ自体は物理的な制約ではなく、むしろ「エネルギーは正であるべき」という信念を捉えようとする数学的に課された境界条件です。^{[1]多くのエネルギー条件は}物理的現実に対応しないことが知られています。たとえば、ダークエネルギーの観測可能な効果は、強いエネルギー条件に違反することがよく知られています。^{[2] [3]}

一般相対性理論では、エネルギー条件は、無毛定理やブラックホール熱力学の法則など、ブラックホールに関するさまざまな重要な定理の証明によく使用されます（また、必要とされます）。

一般相対性理論および関連理論では、物質および非重力場による質量、運動量、応力の分布は、エネルギー運動量テンソル（または物質テンソル）によって記述されます。しかし、アインシュタイン場の方程式自体は、時空モデルでどのような種類の物質状態または非重力場が許容されるかを指定しません。これは、優れた一般重力理論は非重力物理学に関するあらゆる仮定から最大限独立しているべきであるため、強みであると同時に弱みでもあります。なぜなら、さらなる基準がなければ、アインシュタイン場の方程式は、ほとんどの物理学者が非物理的、つまり近似的にも現実の宇宙の何にも似ていないほど奇妙であるとみなす特性を持つ推定上の解を許容するからです。 ${\displaystyle T^{ab}}$

エネルギー条件は、そのような基準を表します。大まかに言えば、エネルギー条件は、物理学で十分に確立されているすべての（またはほぼすべての）物質の状態とすべての非重力場に共通する特性を大まかに記述するものであり、アインシュタイン場方程式の多くの非物理的な「解」を排除するのに十分な強さを備えています。

数学的に言えば、エネルギー条件の最も明白な特徴は、本質的には物質テンソルの固有値と固有ベクトルに対する制約であるという点です。より微妙ですが、同様に重要な特徴は、それらが接空間のレベルで事象ごとに課されるということです。したがって、閉じた時間的曲線などの好ましくないグローバルな特徴を排除できる見込みはありません。

さまざまなエネルギー条件の説明を理解するには、任意の時間的ベクトルまたはヌルベクトルと物質テンソルから構築されたいくつかのスカラー量とベクトル量の物理的な解釈に精通している必要があります。

まず、単位時間的ベクトル場は、（おそらく非慣性的な）理想的な観測者の族の世界線を定義するものとして解釈できる。次に、スカラー場${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$

は、私たちの家族の観測者によって（彼の世界線上の各イベントで）測定された総質量エネルギー 密度（物質と非重力場の場エネルギーの合計）として解釈できます。同様に、成分を持つベクトル場は（投影後に）観測者によって測定された 運動量を表します。${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$

第二に、任意のヌルベクトル場が与えられたとき、スカラー場 ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$

質量エネルギー密度の一種の極限ケースと考えることができます。

第三に、一般相対性理論の場合、任意の時間的ベクトル場が与えられ、これもまた理想的な観測者の族の運動を記述すると解釈され、レイチャウドゥリのスカラーは、各イベントにおけるそれらの観測者に対応する潮汐テンソルのトレースをとることによって得られるスカラー場である。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$

この量はレイチャウドゥリ方程式において重要な役割を果たします。するとアインシュタイン場方程式から次の式が直ちに得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$

物質テンソルのトレースは どこにありますか。${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$

一般的に使用されている代替エネルギー条件はいくつかあります。

ヌルエネルギー条件は、あらゆる未来を指すヌルベクトル場 に対して、 ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

これらにはそれぞれ平均化されたバージョンがあり、その場合、上記の性質は、適切なベクトル場のフローラインに沿って平均的にのみ成立する。そうでない場合、カシミール効果により例外が生じる。例えば、平均ヌルエネルギー条件は、ヌルベクトル場のフローライン（積分曲線）ごとに、 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}$

弱いエネルギー条件は、あらゆる時間的ベクトル場 に対して、対応する観測者によって観測される物質密度が常に非負であることを規定します。 ${\displaystyle {\vec {X}},}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

支配的なエネルギー条件は、弱いエネルギー条件が成り立つことに加えて、未来を指す因果ベクトル場（時間的またはヌルのいずれか）ごとに、ベクトル場が未来を指す因果ベクトルでなければならないことを規定します。つまり、質量エネルギーが光より速く流れることは決して観察されません。 ${\displaystyle {\vec {Y}},}$${\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}$

強いエネルギー条件は、あらゆる時間的ベクトル場 に対して、対応する観測者によって測定された潮汐テンソルのトレースが常に非負であることを規定します。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}$

少なくとも数学的観点からは、強いエネルギー条件に違反する古典的物質構成は数多く存在します。たとえば、正のポテンシャルを持つスカラー場はこの条件に違反する可能性があります。さらに、ダークエネルギー/宇宙定数の観測は、強いエネルギー条件は宇宙スケール全体で平均化しても、私たちの宇宙を記述できないことを示しています。さらに、この条件は、あらゆる宇宙インフレーション過程（スカラー場によって駆動されないものも含む）で強く違反されます。^[3]

完全流体は形態の物質テンソルを持つ

${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$

ここで、 は物質粒子の4 元速度であり、 は各イベントにおける 4 元速度に直交する空間超平面要素への射影テンソルです。(これらの超平面要素は、速度が渦度フリー、つまり非回転でない限り、空間超スライスを形成しないことに注意してください。) 物質粒子の運動と一致するフレームに関して、物質テンソルの成分は対角形式をとります。 ${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$

${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$

ここで、はエネルギー密度、 は圧力です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$

エネルギー条件は、これらの固有値に基づいて次のように再定式化できます。

• ヌルエネルギー条件は、${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• 弱いエネルギー条件は、${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• 支配的なエネルギー条件は、${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• 強いエネルギー条件は、${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

これらの条件間の関係は右の図に示されています。これらの条件のいくつかは負圧を許容することに注意してください。また、名前に反して、完全流体のコンテキストであっても、強いエネルギー条件は弱いエネルギー条件を意味しないことに注意してください。

最後に、エネルギー条件を非完全流体を含む時空に拡張する提案がある。この時空では、熱力学の第二法則が、安定性と因果関係の両方を調べるための自然なリャプノフ関数を提供し、安定性と因果関係の関係の物理的な起源は、エントロピーと情報の関係にある。^[4]これらの試みは、ホーキング-エリスの真空保存定理（これによれば、エネルギーが光速よりも速く空の領域に入ることができる場合、支配的なエネルギー条件が破られ、エネルギー密度がいくつかの参照フレームで負になる可能性がある^[5]）を、有限の温度と化学ポテンシャルで非平衡物質を含む時空に一般化している。

実際、因果律の破れと流体の不安定性の間には関連があるという考えには長い歴史があります。例えば、W.イスラエルの言葉を借りれば、「効果の源が遅れる可能性がある場合、システムは基底状態からエネルギーを借りることができるはずであり、これは不安定性を意味します」[ ^6]これは、有限温度と化学ポテンシャルでのホーキング-エリスの真空保存定理の言い換えであることを示すことができます。^{[4] [5]}

エネルギー条件の目的は、物理的に合理的な状況は許容しつつ、多くの非物理的な状況を排除する単純な基準を提供することですが、実際には、少なくとも量子力学的効果の有効場モデリングを導入すると、実験的に検証されているため物理的に合理的で現実的でさえあることが知られているいくつかの物質テンソルは、実際にはさまざまなエネルギー条件を満たしません。特に、カシミール効果では、非常に小さな距離dで平行に保持された 2 つの導電板の間の領域に、負のエネルギー密度 があります。

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$

プレート間の真空エネルギーは、プレート間の相対的な相対論的関係によって決まります。(ただし、カシミール効果は位相的であり、真空エネルギーの符号は構成の幾何学と位相の両方に依存することに注意してください。真空エネルギーは平行プレートに対しては負ですが、導電性球に対しては正です。) ただし、さまざまな量子不等式から、このような場合には適切な平均エネルギー条件が満たされる可能性があることが示唆されています。特に、平均ヌルエネルギー条件はカシミール効果で満たされます。実際、ミンコフスキー時空上の有効場理論から生じるエネルギー運動量テンソルの場合、平均ヌルエネルギー条件は日常的な量子場に対して成り立ちます。これらの結果を拡張することは未解決の問題です。

強いエネルギー条件は、すべての通常の/ニュートン物質によって遵守されるが、偽の真空はそれを破る可能性がある。線形順圧方程式の状態を考える。

${\displaystyle p=w\rho ,}$

ここでは物質のエネルギー密度、は物質の圧力、 は定数です。この場合、強いエネルギー条件は を必要としますが、偽の真空と呼ばれる状態では となります。^[7]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w\geq -1/3}$${\displaystyle w=-1}$

• 合同性（一般相対性理論）
• 一般相対論における正確な解
• 一般相対論におけるフレーム場
• 正のエネルギー定理
• 量子不等式

• ホーキング、スティーブン、エリス、GFR（1973）。『時空の大規模構造』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。エネルギー条件については§4.3で説明します。
• ポアソン、エリック (2004)。相対論者のツールキット: ブラックホール力学の数学。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。Bibcode : 2004rtmb.book.....P. ISBN 0-521-83091-5。さまざまなエネルギー条件（上記のすべてを含む）については、セクション2.1で説明します。
• キャロル、ショーン・M（2004）。『時空と幾何学：一般相対性理論入門』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー。ISBN 0-8053-8732-3。さまざまなエネルギー条件についてはセクション4.6で説明します。
• ウォルド、ロバートM. (1984)。一般相対性理論。シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-87033-2。一般的なエネルギー条件についてはセクション9.2で説明します。
• Ellis, GFR; Maartens, R.; MacCallum, MAH (2012).相対論的宇宙論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-38115-4。強いエネルギー条件の違反についてはセクション6.1で説明します。