ユニタリ作用素と1パラメータリー群の関係に関する定理
数学 において 、 1パラメータ ユニタリ群 に関する ストーンの定理は、 ヒルベルト空間 上の 自己随伴作用素 と1パラメータ族
との間の1対1対応を確立する 関数解析 の基本定理である。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
強連続な ユニタリ 演算子 、 すなわち、
∀
t
0
∈
R
,
ψ
∈
H
:
lim
t
→
t
0
U
t
(
ψ
)
=
U
t
0
(
ψ
)
,
{\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}
およびは準同型であり、すなわち、
∀
s
,
t
∈
R
:
U
t
+
s
=
U
t
U
s
.
{\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}
このような 1 パラメータ族は通常、 強連続 1 パラメータ ユニタリ群 と呼ばれます。
この定理はマーシャル・ストーン （1930、1932） によって証明され、 ジョン・フォン・ノイマン （1932）は、少なくともヒルベルト空間が 可分な 場合には、強連続である という要件を単に 弱測定可能 であると緩和できることを示した 。
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
これは印象的な結果であり、 連続 であると想定される マッピング の 導関数を定義できるようになります。また、 リー群 と リー代数 の理論にも関連しています 。
t
↦
U
t
,
{\displaystyle t\mapsto U_{t},}
定理の記述は以下の通りである。 [1]
定理。を 強連続な 1パラメータユニタリ群と する。すると、 と
に自己随伴な 唯一の（おそらく無限の）演算子 が存在し、
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
A
:
D
A
→
H
{\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}
D
A
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}
∀
t
∈
R
:
U
t
=
e
i
t
A
.
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}
のドメインは 次のように定義されます。
A
{\displaystyle A}
D
A
=
{
ψ
∈
H
|
lim
ε
→
0
−
i
ε
(
U
ε
(
ψ
)
−
ψ
)
exists
}
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}
逆に、を （おそらく無限大の）自己随伴作用素とする と、1パラメータ のユニタリ作用素族は次のように定義される。
A
:
D
A
→
H
{\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}
D
A
⊆
H
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
∀
t
∈
R
:
U
t
:=
e
i
t
A
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}:=e^{itA}}
は強連続な 1 パラメータ群です。 定理の両方の部分において、式は 関数計算 によって定義され 、関数計算で は非有界 自己随伴演算子の スペクトル定理 が使用されます。
e
i
t
A
{\displaystyle e^{itA}}
演算子は の 無限小生成子 と呼ばれます。 さらに、 演算子値マッピング が ノルム 連続である場合に限り、 は有界演算子になります。
A
{\displaystyle A}
(
U
t
)
t
∈
R
.
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}
A
{\displaystyle A}
t
↦
U
t
{\displaystyle t\mapsto U_{t}}
強連続ユニタリ群の 無限小生成子は 次のように計算できる。
A
{\displaystyle A}
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
A
ψ
=
−
i
lim
ε
→
0
U
ε
ψ
−
ψ
ε
,
{\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}
の領域は、ノルム位相において極限が存在する ベクトルから構成されます 。つまり、は、 における の微分を で乗じたもの に等しいということです 。定理の記述の一部は、この微分が存在する、つまり、 が稠密に定義された自己随伴演算子であるということです。 は 連続であり微分可能ではないと（事前に）仮定されているだけな
ので、結果は有限次元の場合でも明らかではありません。
A
{\displaystyle A}
ψ
{\displaystyle \psi }
A
{\displaystyle A}
−
i
{\displaystyle -i}
U
t
{\displaystyle U_{t}}
t
{\displaystyle t}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
A
{\displaystyle A}
U
t
{\displaystyle U_{t}}
例 翻訳演算子のファミリー
[
T
t
(
ψ
)
]
(
x
)
=
ψ
(
x
+
t
)
{\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}
はユニタリ作用素の1パラメータユニタリ群である。この族の無限小生成子は 微分作用素の
拡張である。
−
i
d
d
x
{\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}
は連続的に微分可能な複素数値関数の空間上で定義され、 コンパクト台 を持つ。 したがって
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
T
t
=
e
t
d
d
x
.
{\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}
つまり、線上の運動は 運動量演算子 によって生成されます。
アプリケーション ストーンの定理は 量子力学において数多くの応用がある。例えば、状態のヒルベルト空間 H を持つ孤立した量子力学系が与えられた場合 、 時間発展は 上の強連続な 1 パラメータ ユニタリ群となる 。この群の無限小生成元はシステム ハミルトニアン である。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
ストーンの定理は、フーリエ変換 という言語を使って書き直すことができます 。実数直線は局所的にコンパクトなアーベル群です。 群 C*-代数 の非退化 *-表現は 、 の強連続ユニタリ表現、すなわち、強連続 1 パラメータ ユニタリ群と 1 対 1 に対応しています 。一方、フーリエ変換は、 から、無限遠で消える実数直線上の連続複素数値関数の -代数への *-同型です 。 したがって 、強連続 1 パラメータ ユニタリ群と の *-表現の間には 1 対 1 の対応があります。 の すべての *-表現は 自己随伴演算子に一意に対応するため、ストーンの定理が成り立ちます。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
C
0
(
R
)
,
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
C
0
(
R
)
.
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}
C
0
(
R
)
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}
したがって、強連続な 1 パラメータ ユニタリ群の無限小生成子を取得する手順は次のようになります。
をヒルベルト空間 上 の強連続ユニタリ表現と します 。
(
U
t
)
t
∈
R
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
このユニタリ表現を積分して、まず を定義し 、次に連続性によって 全体に拡張することで、 上の の 非退化 *-表現を生成します 。
ρ
{\displaystyle \rho }
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
∀
f
∈
C
c
(
R
)
:
ρ
(
f
)
:=
∫
R
f
(
t
)
U
t
d
t
,
{\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,}
ρ
{\displaystyle \rho }
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
フーリエ変換を使用して、上の の 非退化 *-表現を取得します 。
τ
{\displaystyle \tau }
C
0
(
R
)
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
リース・マルコフの定理 により 、は、 上の 射影値測度 を生じます。これは 、有界でない可能性のある、一意の 自己随伴演算子 の恒等式の解決です。
τ
{\displaystyle \tau }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
A
{\displaystyle A}
すると、 無限小生成器は
A
{\displaystyle A}
(
U
t
)
t
∈
R
.
{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}
の正確な定義は 以下のとおりです。 上の連続複素数値関数 でコンパクトな台を持つ *-代数を考えます。ここで、乗算は 畳み込み で与えられます。この *-代数の -ノルムに関する完備化は バナッハ *-代数であり、 で表されます。 次に、 は の 包絡 -代数 、つまり、可能な限り最大の -ノルムに関する完備化 として定義されます。 は、フーリエ変換を介して A と同型で あることは自明ではありません。 この方向の結果は、 リーマン-ルベーグの補題 であり、これは、フーリエ変換がに 写像されることを示しています。
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
C
c
(
R
)
,
{\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ),}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
L
1
{\displaystyle L^{1}}
(
L
1
(
R
)
,
⋆
)
.
{\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
(
L
1
(
R
)
,
⋆
)
{\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
C
∗
(
R
)
{\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}
C
0
(
R
)
.
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}
L
1
(
R
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}
C
0
(
R
)
.
{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}
一般化 ストーン ・フォン・ノイマン定理は、 ストーンの定理を、 標準的な交換関係 を満たす 一対 の自己随伴演算子に一般化し 、これらがすべて 上の 位置演算子 と 運動量演算子にユニタリ同値であることを示します。
(
P
,
Q
)
{\displaystyle (P,Q)}
L
2
(
R
)
.
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}
ヒレ ・ヨシダの定理は、ストーンの定理を バナッハ空間 上の 収縮 の強連続な1パラメータ半群に一般化します 。
参考文献
文献 Hall, BC (2013)、 「数学者のための量子理論」 、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、 Bibcode :2013qtm..book.....H、 ISBN 978-1461471158 von Neumann、John (1932)、「Über einen Satz von Herrn MH Stone」、 Annals of Mathematics 、第 2 シリーズ (ドイツ語)、 33 (3)、Annals of Mathematics: 567–573、 doi :10.2307/1968535、 ISSN 0003 -486X、 JSTOR 1968535 ストーン、MH (1930)、「ヒルベルト空間における線型変換。III. 演算法と群論」、 米国科学アカデミー紀要 、 16 (2)、米国科学アカデミー: 172–175、 Bibcode :1930PNAS...16..172S、 doi : 10.1073/pnas.16.2.172 、 ISSN 0027-8424、 JSTOR 85485、 PMC 1075964 、 PMID 16587545 ストーン、MH (1932)、「ヒルベルト空間における1パラメータユニタリ群について」、 Annals of Mathematics 、 33 (3): 643–648、 doi :10.2307/1968538、 JSTOR 1968538 K. ヨシダ 『関数解析』 、シュプリンガー・フェアラーク、(1968)
=\psi (x+t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30083dbc2b34c63472ce1a58cb47b9274919dd10)
