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幾何学では、線、平面、剛体などの物体の向き、姿勢、方位、方向、または角度位置は、それが占める空間内での配置方法の説明の一部です。[1] より具体的には、物体を基準配置から現在の配置に移動するために必要な仮想回転を指します。回転だけでは現在の配置に到達できない場合があり、その場合は、物体の位置(または線形位置) を変更するために仮想並進移動を追加する必要があります。位置と向きを一緒にすると、物体が空間内でどのように配置されているかが完全に説明されます。物体の向きは並進しても変化せず、位置は回転しても変化しないため、上記の仮想回転と並進移動は任意の順序で発生すると考えられます。
オイラーの回転定理は、3 次元では固定軸の周りを1 回転するだけでどの方向でも到達できることを示しています。これは、軸と角度の表現を使用して方向を表す一般的な方法の 1 つです。その他の広く使用されている方法には、回転四元数、ローター、オイラー角、回転行列などがあります。より専門的な用途としては、結晶学のミラー指数、地質学の走向と傾斜、地図や標識の等級などがあります。単位ベクトルは、オブジェクトの法線ベクトル 方向や2 点間の 相対方向を表すためにも使用できます。
通常、方向は参照フレームに対して相対的に与えられ、通常は直交座標系で指定されます。
数学的表現
3次元
一般に、剛体の空間における位置と方向は、主参照フレームに対する別の参照フレームの位置と方向として定義されます。この参照フレームは、剛体に対して固定されており、したがって剛体とともに移動および回転します (剛体のローカル参照フレーム、またはローカル座標系)。このローカル フレームの方向を記述するには、少なくとも 3 つの独立した値が必要です。他の 3 つの値は、オブジェクト上の点の位置を記述します。回転軸上にある点を除き、回転中に剛体のすべての点の位置が変わります。剛体に回転対称性がある場合、既知の開始方向から時間の経過とともに方向がどのように変化するかを観察する場合を除き、すべての方向を区別できるわけではありません。たとえば、直線、線分、またはベクトルの空間における方向は、 2 つの方向余弦 など、2 つの値のみで指定できます。もう 1 つの例は、地球上の点の位置です。これは、経度 と緯度 の 2 つの角度を使用して測定された、地球の中心と点を結ぶ線の方向を使用して記述されることがよくあります。同様に、平面の方向も 2 つの値で記述できます。たとえば、その平面に垂直な線の方向を指定したり、走向角と傾斜角を使用したりします。
3 次元の剛体と平面の方向を表す数学的手法の詳細については、次のセクションで説明します。
2次元
2 次元では、任意のオブジェクト (線、ベクトル、または平面図形) の方向は、回転した角度という単一の値で表されます。自由度は 1 つだけであり、回転の軸となる固定点は 1 つだけです。
複数の次元
d次元がある場合、回転対称性を持たないオブジェクトの方向の指定には、d（d −1）/ 2個の独立した値が必要です。
3次元の剛体
3 次元の剛体の向きを記述する方法がいくつか開発されています。それらは次のセクションでまとめられています。
オイラー角
方向を表す最初の試みは、レオンハルト・オイラーによるものです。彼は、互いに回転できる 3 つの参照フレームを想像し、固定された参照フレームから始めて 3 回回転することで、空間内の他の参照フレームを取得できることに気付きました (2 回の回転で垂直軸を固定し、もう 1 回の回転で他の 2 つの軸を固定します)。この 3 回の回転の値は、オイラー角と呼ばれます。
テイト・ブライアン角
これらは、ヨー、ピッチ、ロール、ナビゲーション角度、カルダン角度とも呼ばれる 3 つの角度です。数学的には、これらは 12 の可能なオイラー角セット内の 6 つの可能性のセットを構成し、その順序は、飛行機などの乗り物の方向を説明するのに最もよく使用される順序です。航空宇宙工学では、これらは通常、オイラー角と呼ばれます。
方向ベクトル
オイラーはまた、2 つの回転の合成は、異なる固定軸の周りの 1 つの回転に等しいことにも気付きました (オイラーの回転定理)。したがって、前の 3 つの角度の合成は 1 つの回転に等しくなければなりませんが、その軸の計算は、行列が開発されるまでは複雑でした。
この事実に基づいて、彼は回転軸上のベクトルと角度の値に等しいモジュールを使用して、任意の回転を記述するベクトル的方法を導入しました。したがって、任意の方向は、参照フレームからその方向につながる回転ベクトル (オイラー ベクトルとも呼ばれます) によって表すことができます。方向を表すために使用される場合、回転ベクトルは一般に方向ベクトルまたは姿勢ベクトルと呼ばれます。
軸角度表現と呼ばれる同様の方法では、回転軸に沿った単位ベクトルと、角度を示す別の値を 使用して回転または方向を記述します(図を参照)。
方向マトリックス
行列の導入により、オイラーの定理は書き換えられました。回転は、回転行列または方向余弦行列と呼ばれる直交行列によって記述されました。方向を表すために使用される場合、回転行列は一般に方向行列または姿勢行列と呼ばれます。
前述のオイラーベクトルは回転行列の固有ベクトルです（回転行列は固有の実固有値を持ちます）。2つの回転行列の積は回転の合成です。したがって、前と同様に、方向は初期フレームからの回転として与えられ、記述したいフレームを実現できます。
n次元空間における非対称物体の配置空間はSO( n ) × R nです。物体に接線ベクトルの基底を付加することで、方向を視覚化できます。各ベクトルが指す方向によって、物体の方向が決まります。
方向クォータニオン
回転を記述する別の方法は、回転四元数（バーソルとも呼ばれる）を使用することです。回転四元数は、回転行列および回転ベクトルと同等です。回転ベクトルに関しては、行列との変換がより簡単です。方向を表すために使用される場合、回転四元数は通常、方向四元数または姿勢四元数と呼ばれます。
使用例
剛体
剛体の姿勢とは、例えば、固定された基準フレームに対する、物体に固定されたフレームの向きによって記述されるその向きである。姿勢は姿勢座標によって記述され、少なくとも3つの座標で構成される。[2] 剛体の向きを決める1つの方法は、物体軸の回転に基づくものである。物体の固定された基準フレームの軸を中心に3回連続して回転し、物体のオイラー角を確立する。[3] [4]もう1つの方法は、ロール、ピッチ、ヨーに基づくものである。[5]ただし、これらの用語は、公称姿勢からの増分偏差も指す。
参照
参考文献
- ^ Robert J. Twiss、 Eldridge M. Moores (1992)。「§2.1 構造の方向」構造地質学（第2版）。マクミラン。p. 11。ISBN
0-7167-2252-6平面または線の
姿勢、つまり空間内での方向は、構造を記述する上で基本的な要素です。
- ^ Hanspeter Schaub ; John L. Junkins (2003). 「剛体運動学」.宇宙システムの解析力学. アメリカ航空宇宙学会. p. 71. ISBN 1-56347-563-4。
- ^ Jack B. Kuipers (2002)。「図 4.7: 航空機のオイラー角シーケンス」。四元数と回転シーケンス: 軌道、航空宇宙、仮想現実への応用に関する入門書。プリンストン大学出版局。p. 85。ISBN 0-691-10298-8。
- ^ Bong Wie (1998). 「§5.2 オイラー角」。宇宙船のダイナミクスと制御。アメリカ航空宇宙学会。p. 310。ISBN
1-56347-261-9オイラー
角の剛体姿勢。
- ^ ロレンツォ・シャヴィッコ;ブルーノ・シチリアーノ (2000)。 「§2.4.2 ロール-ピッチ-ヨー角」。ロボットマニピュレータのモデリングと制御(第 2 版)。スプリンガー。 p. 32.ISBN 1-85233-221-2。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズの「オリエンテーション（数学）」に関連するメディア