ひずみ（力学）

歪み
その他の名前	ひずみテンソル
SI単位	1
その他のユニット	%
SI基本単位では	メートル/メートル
座標変換における動作	テンソル
寸法	${\displaystyle 1}$

力学では、ひずみは、基準位置構成と比較した相対的な変形として定義されます。ひずみ場の表現には、物体の初期構成または最終構成のどちらに対して定義されているか、また計量テンソルまたはその双対が考慮されている かに応じて、異なる同等の選択肢があります。

ひずみは長さの比の次元を持ち、SI 基本単位はメートル/メートル (m/m) です。したがって、ひずみは無次元であり、通常は小数またはパーセンテージで表されます。 また、百万分の一または十億分の一(それぞれ「マイクロひずみ」および「ナノひずみ」と呼ばれることもあります) などのパーツパー表記も使用され、 μm /m およびnm /mに対応します。

ひずみは変位の空間微分として定式化できます。 ここで、Iは恒等テンソルです。物体の変位はx = F ( X )の形式で表すことができます。ここで、Xは物体の物質点の基準位置です。変位は長さの単位を持ち、物体の剛体運動 (並進と回転) と変形 (形状とサイズの変化) を区別しません。均一な並進の空間微分はゼロであるため、ひずみは、与えられた変位が剛体運動と局所的にどれだけ異なるかを測定します。^[1]$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

ひずみは一般にテンソル量です。ひずみを法線成分とせん断成分に分解できることを観察することで、ひずみに関する物理的な洞察が得られます。変形体における、材料の線要素または繊維に沿った伸張または圧縮の量は法線ひずみであり、平面層が互いに滑り合うことに伴う歪みの量はせん断ひずみです。 ^[2]これは、伸長、短縮、体積変化、または角度歪みによって適用できます。^[3]

連続体の物質点におけるひずみの状態は、その点を通過する物質線または繊維の長さの変化の総和（法線ひずみ）と、その点から放射される、最初は互いに垂直であった一対の線の間の角度の変化の総和（せん断ひずみ）として定義されます。ただし、互いに垂直な 3 つの方向のひずみの法線成分とせん断成分を知っていれば十分です。

材料ラインの長さが増加する場合、その垂直ひずみは引張ひずみと呼ばれます。一方、材料ラインの長さが減少または圧縮される場合、その垂直ひずみは圧縮ひずみと呼ばれます。

ひずみの量、つまり局所的な変形に応じて、変形の分析は次の 3 つの変形理論に分類されます。

• 有限ひずみ理論は、大ひずみ理論、大変形理論とも呼ばれ、回転とひずみの両方が任意に大きい変形を扱います。この場合、連続体の変形されていない構成と変形された構成は大幅に異なるため、それらを明確に区別する必要があります。これは、エラストマー、塑性変形材料、その他の流体、および生物学的軟組織でよく見られます。
• 微小ひずみ理論は、微小ひずみ理論、微小変形理論、微小変位理論、または微小変位勾配理論とも呼ばれ、ひずみと回転が両方とも小さい理論です。この場合、物体の変形されていない構成と変形された構成は同一であると想定できます。微小ひずみ理論は、コンクリートや鋼鉄など、機械工学や土木工学の用途で見られる材料など、弾性挙動を示す材料の変形の解析に使用されます。
• 大変位または大回転理論。これは、ひずみは小さいが回転と変位は大きいと仮定します。

これらの理論では、ひずみの定義がそれぞれ異なります。工学ひずみは、ごく小さな変形を受ける機械・構造工学で使用される材料に適用される最も一般的な定義です。一方、大きな変形を受けるエラストマーやポリマーなどの一部の材料には、ひずみの工学定義は適用できません（一般的な工学ひずみは1%を超える場合など）。^{[4]そのため、}伸張、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなど、より複雑なひずみの定義が必要になります。

工学ひずみ（コーシーひずみとも呼ばれる）は、力が加えられる物体の全変形と初期寸法の比として表されます。軸方向に荷重がかかった材料の線要素または繊維の場合、その伸びによって工学垂直ひずみまたは工学伸長ひずみ eが発生します。これは、線要素または繊維の元の長さLの単位あたりの相対伸びまたは長さの変化Δ L（メートル/メートル単位）に等しくなります。材料の繊維が引き伸ばされている場合は垂直ひずみが正になり、圧縮されている場合は負になります。したがって、 となり 、ここでeは工学垂直ひずみ、Lは繊維の元の長さ、lは繊維の最終的な長さです。 $${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

真のせん断ひずみは、変形されていない、または初期構成で互いに垂直になっている 2 つの材料線要素間の角度 (ラジアン単位) の変化として定義されます。工学的せん断ひずみは、その角度の接線として定義され、最大変形長を力の適用面の垂直長さで割った値に等しくなります。これにより、計算が簡単になる場合があります。

伸張比または伸長比（記号λ）は、軸方向に荷重がかかった差動線要素の伸長または法線ひずみに関連する代替の尺度です。これは、材料線の 最終長さlと初期長さLの比として定義されます。$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

伸長比 λ は、工学ひずみeと次の式で 関係します 。この式は、法線ひずみがゼロで変形がない場合、伸長比は 1 に等しいことを意味します。 $${\displaystyle e=\lambda -1}$$

伸張比は、破損するまでに 3 または 4 の伸張比に耐えることができるエラストマーなどの大きな変形を示す材料の解析に使用されます。一方、コンクリートや鋼鉄などの従来のエンジニアリング材料は、はるかに低い伸張比で破損します。

対数ひずみ εは、真ひずみまたはヘンキーひずみとも呼ばれます。^[5]増分ひずみ（ルドヴィク）を考慮すると、 対数ひずみはこの増分ひずみを積分することによって得られます。 ここで、eは工学ひずみです。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮に入れ、一連の増分で変形が発生する場合の最終的なひずみの正確な測定値を提供します。^[2]$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

グリーン株は次のように定義されます: $${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

オイラー・アルマンシひずみは次のように定義される。 $${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

（微小）ひずみテンソル（記号）は、国際力学標準規格（ISQ）、より具体的にはISO 80000-4（力学）において、「応力によって引き起こされる物質の変形を表すテンソル量。ひずみテンソルは対称で、3 つの線形ひずみと 3 つのせん断ひずみ（直交座標）成分を持つ。」と定義されています。 ^[6] ISO 80000-4 ではさらに、線形ひずみを「物体の長さの変化とその長さの商」、せん断ひずみを「層の 2 つの表面の平行変位と層の厚さの商」と定義しています。 ^{[6]したがって、ひずみは}法線ひずみまたはせん断ひずみ に分類されます。法線ひずみは要素の面に対して垂直であり、せん断ひずみは要素の面に対して平行です。これらの定義は、法線応力およびせん断応力の定義と一致しています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

ひずみテンソルは、法線成分とせん断成分で次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

2次元の無限小の長方形の材料要素を考えます。寸法はdx × dyで、変形後は菱形になります。変形は変位場 uで表されます。隣の図の幾何学から 、 次の式が得られます。変位勾配が非常に小さい場合、および の導関数の2乗は無視でき、次の式が得られます。 $${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle u_{x}}$$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

フックの法則に従う等方性材料の場合、垂直応力によって垂直ひずみが生じます。垂直ひずみによって膨張が生じます。

長方形要素の x方向の法線ひずみは次のように定義されます。同様に、 y方向とz方向 の法線ひずみは次のように定義されます。$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

工学的せん断ひずみ（γ _xy ）は、線ACと線ABの間の角度の変化として定義されます。したがって、 $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

図の幾何学から、次の式が得られます。 変位勾配が小さい場合、次の式が得られます 。 回転が小さい場合、つまりαとβ ≪ 1 の場合、 tan α ≈ α、tan β ≈ βが成立します。 したがって、 x とy 、およびu _xとu _y を交換すると、 γ _xy = γ _yxであることが示されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

同様に、yz平面とxz平面では、 $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

変位に関連するひずみ場は、任意の点において、その点を通過する任意にパラメータ化された曲線の速度を表す接線ベクトルの長さの変化によって定義されます。フレシェ、フォン・ノイマン、およびジョーダンによる基本的な幾何学的結果によれば、接線ベクトルの長さがノルムの公理と平行四辺形法則を満たす場合、ベクトルの長さは、分極公式によって計量テンソルと呼ばれる正定値双線形写像に関連付けられた二次形式の値の平方根になります。

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