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代数学において、六次多項式（または六次多項式）とは、次数が6の多項式のことです。六次方程式とは、次数が6の多項式方程式、つまり左辺が六次多項式で右辺がゼロである方程式のことです。より正確には、次の形式をとります。
ここでa ≠ 0であり、係数a、b、c、d、e、f、gは整数、有理数、実数、複素数、またはより一般的には任意の体の要素である。
六次関数とは、六次多項式で定義される関数です。六次関数は偶数次であるため、グラフ化すると四次関数と似た形になりますが、それぞれに局所最大値と局所最小値が存在する場合があります。六次関数の導関数は五次関数です。
六次関数は偶数次の多項式で定義されるため、引数が正の無限大または負の無限大に近づくとき、同じ無限大の極限を持ちます。先頭係数aが正の場合、関数は両辺で正の無限大に増加するため、関数は最小値を持ちます。同様に、aが負の場合、六次関数は負の無限大に減少し、最大値を持ちます。
ax 6 + dx 3 + g = 0のような6次方程式の中には、根号に因数分解することで解けるものもありますが、そうでない6次方程式もあります。エヴァリスト・ガロアは、与えられた方程式が根号で解けるかどうかを判断する手法を開発し、それがガロア理論という分野の始まりとなりました。
ガロア理論によれば、6次方程式が根号を用いて解けるのは、そのガロア群が、根の集合を2つの根からなる3つの部分集合に分割することを安定させる位数48の群、または根の集合を3つの根からなる2つの部分集合に分割することを安定させる位数72の群のいずれかに含まれる場合に限る。
どちらの場合もテストするための公式があり、方程式が解ける場合は、根号を用いて根を計算します。[ 1 ]
蒸気機関の初期の研究の文脈で生まれたワット曲線は、 2つの変数に関する6次曲線である。
三次方程式を解く方法の一つとして、変数を変換して次数が6、3、0の項のみを含む六次方程式を得る方法があり、これは変数の3乗に関する二次方程式として解くことができる。
「sextic」という語は、ラテン語で6または6番目の語幹（「sex-t-」）と、ギリシャ語で「～に関する」という意味の接尾辞（「-ic」）に由来します。あまり一般的ではない「hexic」は、語幹（hex- 6）と接尾辞（-ik-）の両方にギリシャ語を使用しています。どちらの場合も、接頭辞は関数の次数を表します。多くの場合、これらの関数は単に「6次関数」と呼ばれます。
