軌道崩壊

大気を持つ中心天体（または惑星）の周りをほぼ円軌道で公転する二体軌道の、軌道高度の変化率に関する簡略化された減衰モデルを以下に示す。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}={\frac {\alpha _{o}(R)\cdot T(R)}{\pi }}}$

ここで、Rは宇宙船から惑星の原点までの距離、αo_は宇宙船の軌道方向（または宇宙船の速度ベクトルに平行な方向）に投影されたすべての加速度の合計、Tはケプラー周期です。αoは_高度による大気密度の変化によりRの関数となることが多く、Tはケプラーの惑星運動の法則によりRの関数となることに注意してください。

大気抵抗のみを考慮する場合、以下の抗力方程式を用いて、軌道半径Rの関数として抗力減速αo_を近似することができる。

${\displaystyle \alpha _{o}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho (R)\,v^{2}\,c_{\rm {d}}\,{\frac {A}{m}}}$

${\displaystyle \rho (R)}$は大気の質量密度であり、原点からの半径Rの関数である。

${\displaystyle v}$は軌道速度です。

${\displaystyle A}$は抗力基準領域です。

${\displaystyle m}$は衛星の質量であり、

${\displaystyle c_{\rm {d}}}$は衛星の形状に関連する無次元抗力係数であり、表面摩擦と形状抗力を考慮に入れています（キューブ衛星の場合は約2.2）。

力学的エネルギー保存則により、摂動のない二体軌道では、軌道のエネルギーは運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの合計に等しくなります。運動エネルギー成分にvis-viva方程式を代入すると、円軌道の軌道エネルギーは次のように表されます。

${\displaystyle U=KE+GPE=-{\frac {GM_{E}m}{2R}}}$

ここで、 Gは重力定数、ME_は中心天体の質量、mは周回衛星の質量である。軌道エネルギーを半径で微分する。

${\displaystyle {\frac {dU}{dR}}={\frac {GM_{E}m}{2R^{2}}}}$

一定質量mの衛星に作用する総減速力（通常は低地球軌道における大気抵抗）は、ある力Fによって与えられる。軌道エネルギーの損失率は、衛星が微小な円弧長ds を、微小な角度dθと角速度ωで囲まれた範囲を移動する際に、外部力が衛星に対して負の仕事をする率に等しい。

${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}={\frac {F\cdot ds}{dt}}={\frac {F\cdot R\cdot d\theta }{dt}}=F\cdot R\cdot \omega }$

角速度ωは平均運動とも呼ばれ、半径Rの2体円軌道の場合、次のように表されます。

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {GM_{E}}{R^{3}}}}}$

そして...

${\displaystyle F=m\cdot \alpha _{o}}$

上記の軌道エネルギーの変化率にωを代入し、外部抗力または減衰力を減速度αoで表すと、時間に対する軌道エネルギーの変化率は次のように表すことができます_。

$\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=m\cdot \alpha _{o}\cdot {\sqrt {\frac {GM_{E}}{R}}}}$

軌道エネルギーの動径距離と時間の両方に対する変化率の式があれば、以下のように動径距離の時間に対する変化率を求めることができます。

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\left(\left({\frac {dU}{dR}}\right)^{-1}\cdot {\frac {dU}{dt}}\right)}$

${\displaystyle =2\alpha _{o}\cdot {\sqrt {\frac {R^{3}}{GM_{E}}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\alpha _{o}\cdot T}{\pi }}}$

上記の導出で使用されている仮定は、軌道が減衰過程全体を通してほぼ円形を維持するというものであり、そのため軌道エネルギーの式はほぼ円軌道の場合と同じになります。これは、軌道が円軌道として始まる場合によく当てはまります。なぜなら、抗力は「再円形化」すると考えられ、近点（低高度）での抗力の大きさは遠点での抗力の大きさよりも大きくなることが予想され、その結果、平均離心率が減少するからです。

軌道高度における大気抵抗は、ガス分子と衛星との頻繁な衝突によって引き起こされます。これは、低地球軌道にある衛星の軌道減衰の主な原因です。その結果、衛星の軌道高度が低下します。地球の場合、衛星の再突入を引き起こす大気抵抗は、次のシーケンスで説明できます。

高度が低い → 大気密度が高い → 抗力が増加する → 熱が増加する → 通常は再突入時に燃え尽きる

軌道の減衰には正のフィードバック効果が伴い、軌道が減衰するほど高度は低下し、高度が低いほど減衰は速くなります。また、減衰は太陽活動などの宇宙環境の外部要因にも特に敏感ですが、これらの要因はあまり予測できません。太陽活動が極大期には、地球の大気は太陽活動が極小期よりもはるかに高い高度まで大きな抵抗を引き起こします。^{[ 4 ]}

大気抵抗は、宇宙ステーション、スペースシャトル、その他の有人地球周回宇宙船、ハッブル宇宙望遠鏡のような比較的高い「低地球軌道」を持つ衛星の高度で大きな影響を及ぼします。宇宙ステーションは通常、軌道減衰に対抗するために定期的な高度上昇を必要とします（軌道維持も参照）。制御不能な軌道減衰によりスカイラブ宇宙ステーションは崩壊し^{[ 5 ]} 、（比較的）制御された軌道減衰がミール宇宙ステーションの軌道離脱に使用されました^{[ 6 ] 。}

ハッブル宇宙望遠鏡は高度がはるかに高いため、軌道修正の頻度は少なくなっています。しかし、軌道減衰もハッブルがメンテナンスランデブーなしで運用できる期間を制限する要因であり、直近では2009年にスペースシャトル・アトランティスとのSTS-125ミッションで成功裏に実施されました。新しい宇宙望遠鏡ははるかに高い軌道、あるいは場合によっては太陽軌道にあるため、軌道修正は必要ないかもしれません。^{[ 7 ]}

軌道は、周回天体が同期軌道より低い位置にあるときに負の潮汐加速度によって減衰することがある。^{[ 8 ]}これにより、周回天体から角運動量が奪われ、主天体の自転に伝達され、軌道の高度が低下する。

潮汐による軌道減衰を受けている衛星の例としては、火星の衛星フォボス^{[ 8 ]}、海王星の衛星トリトン^{[ 9 ]}、そしておそらく系外惑星TrES-3b ^{[ 10 ]}などが挙げられる。逆の効果として、潮汐摩擦によって衛星が外側へ移動することもある。月はこの効果の一例であり^{[ 11 ]} 、土星の衛星も同様である^{[ 12 ] 。}

太陽系内の小さな天体も、非対称な放射圧によって加えられる力により軌道が減衰します。理想的には、吸収されるエネルギーは任意の点で放出される黒体エネルギーと等しくなり、正味の力はゼロになります。しかし、ヤルコフスキー効果は、熱の吸収と放射が瞬間的ではないため、潮汐ロックされていない天体は太陽に面した表面で太陽光エネルギーを吸収しますが、その表面は天体が回転して放出が天体の軌道と平行になるまでそのエネルギーの多くを再放出しないという現象です。^{[ 13 ]}これにより、軌道と平行な非常に小さな加速度が生じますが、数百万年にわたって小さな天体にとっては重要なものとなる可能性があります。ポインティング・ロバートソン効果は、光の非対称な入射、つまり光行差によって生じる、天体の速度に抵抗する力です。順行回転する天体の場合、これら2つの効果は反対方向ですが、一般的には不均等な力を及ぼします。

重力放射は、軌道減衰のもう一つのメカニズムです。惑星や惑星衛星の軌道（数世紀、数十年、あるいはそれ以下の時間スケールでの軌道運動を考慮する場合）では無視できるほど小さいですが、中性子星の軌道観測に見られるように、コンパクト天体の系では顕著になります。すべての軌道上の天体は重力エネルギーを放射するため、永久に安定した軌道は存在しません。

電気力学的テザーを使用する人工衛星は、地球の磁場の中を移動する際に抗力を発生させ、最終的には衛星が軌道から外れる可能性がある。