些細なこと（数学）

数学では、形容詞のtrivial は、文脈から容易に得られる主張や事例、あるいは単純な構造を持つオブジェクト（例：群、位相空間）を指すためによく使われる。^{[1] [2]}名詞のtriviality は通常、何らかの証明や定義の単純な技術的側面を指す。数学用語におけるこの用語の語源は、より難しいquadriviumカリキュラムと区別する中世のtriviumカリキュラムに由来する。^{[1] [3]} trivial の反対語はnontrivialで、これは通常、例や解が単純ではない、あるいはステートメントや定理の証明が容易ではないことを示すために使われる。^[2]

検討中の状況が自明であるかどうかの判断は、誰がそれを検討するかによって異なります。十分な知識や経験がある人にとっては状況が明らかに真実である一方、これを一度も見たことがない人にとっては理解するのが難しい場合もあり、まったく自明ではないからです。また、問題が自明であると扱われるためには、どれだけ迅速かつ容易に問題が認識されるべきかについても議論の余地があります。したがって、自明性は数学や論理学において普遍的に同意されている特性ではありません。

数学では、「自明」という用語は、非常に単純な構造を持つオブジェクト (グループ、位相空間など) を指すためによく使用されます。これには、次のようなものが含まれます。

• 空集合:メンバーが存在しない、または null である集合
• 自明群:単位元のみを含む数学的群
• 自明環:単一集合上に定義された環

「自明」は、非常に単純な構造を持つ方程式の解を表すためにも使用できますが、完全性のために省略することはできません。これらの解は自明解と呼ばれます。たとえば、微分方程式を考えてみましょう。

$${\displaystyle y'=y}$$

ここで は導関数がである関数である。自明な解はゼロ関数である。${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle y'}$

$${\displaystyle y(x)=0}$$

一方、非自明な解は指数関数である。

$${\displaystyle y(x)=e^{x}.}$$

境界条件付き微分方程式は数学や物理学において重要であり、量子力学における箱の中の粒子や弦上の定在波を記述するのに使用できる。この方程式には常に解が含まれるが、これは自明であると考えられているため「自明な」解と呼ばれる。場合によっては他の解（正弦波）が存在することがあり、これは「非自明な」解と呼ばれる。^[4]${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$${\displaystyle f(x)=0}$

同様に、数学者はフェルマーの最終定理を、nが 2 より大きい場合、方程式 には非自明な整数解は存在しないと主張するものとして説明することがよくあります。明らかに、方程式にはいくつかの解があります。たとえば、は任意のnに対する解ですが、そのような解は明白であり、ほとんど努力せずに得られるため、「自明」です。 ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle a=b=c=0}$

自明とは、証明が簡単な場合を指すこともありますが、完全性のために無視することはできません。たとえば、数学的帰納法による証明には2 つの部分があります。「基本ケース」は、特定の初期値 ( n = 0 またはn = 1 など) に対して定理が真であることを示します。帰納的ステップは、定理が特定のnの値に対して真である場合、値n + 1に対しても真であることを示します。基本ケースは自明であることが多く、そのように識別されますが、基本ケースは困難でも帰納的ステップは自明である場合もあります。同様に、あるプロパティが特定のセットのすべてのメンバーによって保持されていることを証明したい場合があります。証明の主要部分では、空でないセットの場合を考慮し、メンバーを詳細に調べます。セットが空の場合、プロパティは空セットのすべてのメンバーによって自明に保持されます。なぜなら、メンバーが存在しないからです (詳細については、空集合の真実を参照してください)。

検討中の状況が些細であるかどうかの判断は、誰がそれを検討するかによって異なります。十分な知識や経験がある人にとっては状況が明らかに真実である一方、これを一度も見たことがない人にとっては理解するのが難しいため、些細なことではない場合があります。また、問題が些細なものとして扱われるためには、問題がどれだけ迅速かつ容易に認識されるべきかについて議論がある場合があります。次の例は、些細性の判断の主観性と曖昧さを示しています。

自明性は文脈にも依存します。関数解析の証明では、おそらく、ある数が与えられた場合、それより大きな数の存在を自明に想定するでしょう。しかし、初等整数論における自然数に関する基本的な結果を証明する場合、その証明は、あらゆる自然数には後続の数が存在するという発言に大きく左右される可能性があります。この発言は、それ自体が証明されるか公理として扱われるべきであり、自明ではありません (詳細については、ペアノの公理を参照してください)。

いくつかのテキストでは、自明な証明とは、結果Qが常に真であるような質的含意 P → Q を含む文を指します。[ 5 ]ここでは^{、結果が真であると固定されていれば、}前件部Pの真理値に関係なく含意が真であるという質的含意の定義により、証明は直ちに導かれます。^[5]

関連する概念に空虚な真理があり、これは物質的含意P → Qにおける前提Pが偽である。^[5]この場合、含意は結果Qの真理値に関係なく常に真である。これもまた物質的含意の定義によるものである。^[5]

• 数学界でよくあるジョークに、「自明」は「証明済み」と同義であるというものがあり、つまり、どんな定理も、それが真実であると証明されれば「自明」とみなせるというものである。^[1]
• 2 人の数学者が定理について議論しています。最初の数学者は、定理は「自明」であると言います。もう 1 人の数学者の説明の要求に応えて、20 分間の説明を続けます。説明の最後に、2 人目の数学者は定理が自明であることに同意します。しかし、証明に多くの時間と労力がかかったとしても、この定理は自明であると言えるのでしょうか。
• 数学者が定理は自明であると言ったが、それを自明であると宣言した瞬間に自分で証明できない場合、その定理は自明なのでしょうか?
• よく、冗談で、ある問題が「直感的に明白」だと言われます。たとえば、微積分の経験がある人なら、次の文は自明だと考えるでしょう。しかし、積分学の知識がない人にとっては、これは明白ではないので、自明ではありません。$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.}$$

• 数論では、整数Nの因数を見つけることがしばしば重要になります。任意の数Nには、 ±1 と ± N の4 つの明らかな因数があります。これらは「自明な因数」と呼ばれます。その他の因数が存在する場合、それは「非自明」と呼ばれます。^[6]
• 同次行列方程式（ は固定行列、は未知ベクトル、は零ベクトル）には、明らかな解 がある。これは「自明解」と呼ばれる。 を伴うその他の解は「非自明」と呼ばれる。^[7]${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$
• 群論では、要素が 1 つだけの非常に単純な群が存在します。これはしばしば「自明な群」と呼ばれます。より複雑な他のすべての群は「非自明な群」と呼ばれます。
• グラフ理論では、自明なグラフは頂点が 1 つしかなく辺がないグラフです。
• データベース理論には、関数依存性と呼ばれる概念があり、 と書きます。 Y がXのサブセットである場合に依存性が成立するため、このタイプの依存性は「自明」と呼ばれます。 それほど明白ではないその他の依存性はすべて「非自明」と呼ばれます。${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\to Y}$
• リーマンのゼータ関数は負の偶数 -2、-4、… で零点を持つことが示せます。証明は比較的簡単ですが、この結果は通常は自明とは言えません。しかし、この場合は自明です。なぜなら、他の零点は一般には未知であり、重要な応用があり、未解決の問題 (リーマン予想など) を伴うからです。したがって、負の偶数は関数の自明な零点と呼ばれ、その他の零点は非自明であると見なされます。

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