数学 では、環準同型とは、2 つの 環 間の構造保存関数 です。より具体的には、R とS が 環である場合、環準同型とは、加算、乗算、および乗法単位元を保存する関数 f : R → S
f （ 1 + b ） = f （ 1 ） + f （ b ） 、 f （ 1 b ） = f （ 1 ） f （ b ） 、 f （ 1 ） = 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1)&=1,\end{aligned}}} すべてのa 、b ∈ R に対して。[ a ]
これらの条件は、加法逆元と加法単位元も保存されることを意味します（群準同型を 参照）。
さらに、f が全単射で ある場合、その逆写像 f −1 も環準同型である。この場合、f は環同型 と呼ばれ、環R とSは 同型で あると言われる。環論の観点からすると、同型の環は全く同じ性質を持つ。
R とSが rng srng 準同型[ b ] f (1 R S rng 準 同型は、環準同型である必要はない。
2つの環準同型の合成は 環準同型である。したがって、環は環準同型を射とする 圏 を形成する（環の圏を
不動産 f : R → S を
f (0 R S すべてのa ∈ R に対してf (− a ) = − f ( a ) が成り立つ。R の任意の単位元 a に対して、f ( a ) は f ( a ) −1 = f ( a −1 ) を満たす単位元である。特に、f は R の単位元からなる乗法群からS (または im( f ))の単位元からなる乗法群への群準同型を 誘導する。f の像は im( f ) と表記され、 S の部分環である。f の核は 、ker( f ) = { a ∈ R | f ( a ) = 0 S } と定義され、R における両側イデアルである。環 R におけるすべての両側イデアルは、何らかの環準同型の核である。準同型写像が単射であるのは、その核が 零イデアル である場合に限る。 S の特性は R の特性を割り切る。この性質は、特定の環 R とS の間には環準同型写像R → S R p が R に含まれる最小の部分環 であり、S p が S に含まれる最小の部分環である場合、すべての環準同型f : R → S f p : R p → S p Rが 可除環 であり、Sが 零環 でないならば、f R とSが両方とも 体で ある場合、im( f )は S の部分体であるため、Sは R の体拡大 と見なすことができます。I が S のイデアルである場合、f −1 ( I ) は R のイデアルである。R とS が可換であり、Pが S の素イデアル である場合、f −1 ( P )は R の素イデアルである。R とS が可換であり、Mが S の極大イデアル であり、f f −1 ( M )は R の極大イデアルである。R とS が可換であり、Sが 整域で ある場合、ker( f )は R の素イデアルである。R とS が可換であり、S が体であり、f f )はR の極大イデアル である。f Pが R の 素イデアル (極大イデアル) であり、ker( f ) ⊆ P であるならば、f ( P ) は S の素イデアル (極大イデアル) である。さらに、
環準同型写像S → T R → S R → T 各環R に対して、恒等写像R → R したがって、すべての環と環準同型を合わせたクラスは、環のカテゴリー というカテゴリーを形成する。 R のすべての要素を0 に写像する零写像R → S は、 S が 零環 (唯一の要素が零である環)である場合に限り、環準同型写像となる。任意の環Rに対して、一意的な環準同型写像 Z → R 圏 における初期対象 であることを示している。 任意の環Rに対して、 R から零環への環準同型写像が一意に存在する。これは、零環が環の圏における終対象であることを示している。 始対象は終対象と同型ではないため、環の圏には零対象 は存在しない。特に、零環は環の圏における零対象ではない。
例 関数f : Z → Z / n Z は f ( a ) = [ a ] n a mod n n Zを持つ 全射 環準同型です(モジュラー算術を 複素共役 C → C 素数標数p の環R に対して、R → R 、 x → x p はフロベニウス自己準同型 と呼ばれる環自己準同型である。 R とSが 環である場合、 Rから S への零関数は、Sが 零環 である場合に限り環準同型写像となる （そうでない場合は、 1Rから 1S rng準 同型写像である。R [ X ] が 実数 R を係数とする変数X のすべての多項式 の環を表し、C が 複素数 を表す場合、f ( p ) = p ( i ) (多項式 p の変数 X を虚数単位 i に置き換える )で 定義さ れる関数f : R [ X ] → C は全射環準同型です。fの 核は、R [ X ] に含まれる X 2 + 1 で割り切れるすべての多項式からなります。 f : R → S が R とS の間の環準同型である場合、f は 行列環 M n R ) → M n S ) の間の環準同型を誘導します。V を体 k 上のベクトル空間とする。このとき、 ρ ( a ) v = av ρ : k → End( V )は環準同型である。より一般的には、アーベル群M が与えられたとき、環R上の M の加群構造は、環準同型R → End( M ) を与えることと同値である。可換環R上の単位的 結合代数 間の単位的代数準同型は、 R 線形 でもある環準同型である。
非例 f ([ a ] 6 ) = [4 a ] 6 f : Z /6 Z → Z /6 Z Z /6 Z で像が 2 Z /6 Z ( Z /3 Z と同型) であるrng 準同型 (およびrng 自己同型)です。任意のn ≥ 1に対して、環準同型 Z / n Z → Z R とSが 環である場合、各rを ( r ,0)に写す包含写像R → R × S はrng準同型写像ですが、環準同型写像ではありません（ Sが零環でない場合）。これは、 R の乗法単位元1をR × S
指輪のカテゴリー
環自己準同型 とは、環から環自身への環準同型のことである。 環同型 とは、2 側逆が環準同型でもある環準同型のことです。環準同型が同型であることは、基となる集合上の関数として全単射である場合に限り証明できます。2つの環 R とS の間に環同型が存在する場合、R とSは 同型で あると呼ばれます。同型環は、要素のラベル付けの変更のみで異なります。例: 同型を除いて、位数 4 の環は 4 つあります。(これは、位数 4 の環が 4 つあり、他のすべての位数 4 の環は、そのうちの 1 つと同型であることを意味します。) 一方、同型を除いて、位数 4 のrng は 11個 環自己同型写像 とは、ある環からその環自身への環同型写像のことである。 
