共役直径

幾何学において、円錐曲線の2つの直径は、一方の直径に平行な弦が他方の直径によって二等分される場合に共役であると言われます。例えば、円の2つの直径は、互いに垂直である場合に限り共役です。

楕円の場合、2 つの直径が共役であるのは、一方の直径の端点における楕円への接線が他方の直径に平行である場合に限る。楕円の共役直径の各ペアには、対応する接線平行四辺形があり、これは境界平行四辺形（境界長方形に比べて歪んでいる）と呼ばれることもある。アイザック・ニュートンは、著書『De motu corporum in gyrum』および『プリンキピア』の中で、与えられた楕円のすべての（境界）平行四辺形は同じ面積を持つことを、以前の著者によって証明された補題として引用している。

共役直径の任意のペア、または境界平行四辺形から楕円を再構成することは可能です。例えば、アレクサンドリアのパップスは、著書『コレクション』第8巻命題14において、与えられた共役直径のペアから楕円の軸を構成する方法を示しています。別の方法としては、リッツの構成法を用いる方法があります。これは、回転やせん断に関係なく、楕円の長軸と短軸の方向と長さを求めるタレスの定理を利用するものです。

解析幾何学では、2 つの共役半直径のベクトルを次のように定義します。${\displaystyle {\vec {a}}、{\vec {b}}}$すると、楕円は次のようにパラメータ化される。${\displaystyle {\vec {a}}\ \cos \theta +{\vec {b}}\ \sin \theta }$として${\displaystyle \theta }$変動する${\displaystyle [0,2\pi ]}$。

楕円の場合と同様に、双曲線の直径は、それぞれが互いに平行なすべての弦を二等分する場合に共役になります。^{[ 1 ]}この場合、双曲線とその共役双曲線の両方が弦と直径の源となります。

ペルガのアポロニウスは、共役双曲線が与えられた場合の共役直径の作図を次のように示しました。「Q を双曲線上の任意の点とし、中心から Q における接線に平行に CE を引いて共役双曲線と E で交わらせると、(1) E における接線は CQ に平行になり、(2) CQ と CE は共役直径となる。」^{[ 2 ]}

解析幾何学では、${\displaystyle {\vec {a}},\ {\vec {b}}}$は2つの共役半直径のベクトルであり、双曲線は次のようにパラメータ化される。${\displaystyle {\vec {a}}\ \cosh \theta +{\vec {b}}\ \sinh \theta }$として${\displaystyle \theta }$変動する${\displaystyle \mathbb {R} }$。

直角双曲線の場合、その共役は漸近線に関する鏡映です。一方の双曲線の直径は、漸近線に関する鏡映と共役であり、その鏡映はもう一方の双曲線の直径となります。円の共役直径の関係が垂直であるように、直角双曲線の共役直径の関係は双曲線直交です。

正方形の桁の集合を補強するタイロッドの配置は、解析幾何学の本に記載されている共役直径の関係によって導かれる。^{[ 3 ]}

双曲線の共役直径は、現代の時空物理学における相対性原理を説明する際にも有用である。相対性の概念は、まず空間の1次元と時間の2次元からなる平面で導入される。このような平面では、一方の双曲線は原点事象から一定の空間的間隔にある事象に対応し、もう一方の双曲線は原点事象から一定の時間的間隔にある事象に対応する。相対性原理は、「共役双曲線の任意の共役直径のペアを空間軸と時間軸とすることができる」と定式化できる。この相対性解釈は、1910年にETウィテカーによって提唱された。 ^{[ 4 ]}

射影幾何学では、すべての直線は無限遠点（図形点とも呼ばれる）を含みます。楕円、放物線、双曲線は射影幾何学では円錐曲線とみなされ、それぞれの円錐曲線は点と直線の間の極と極の関係を決定します。これらの概念を用いると、「2つの直径は、それぞれが他方の図形点の極である場合に共役である」と言えます。^{[ 5 ]}

双曲線の共役直径のうち、曲線と交わるのは1つだけである。

点対の分離という概念は、楕円と双曲線を区別する重要な要素である。楕円では、共役直径のペアはすべて、他のすべてのペアを隔てている。一方、双曲線では、共役直径のペア同士が分離することはない。

• ミシェル・シャスル（1865年）。「結合直径」 . Traité des Sections coniques、つまりパーティー。 faisant suite au traité de géométrie supérieure (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。116～ 23ページ。 

• WKクリフォード（1878）『力学の要素』90ページ、HathiTrustからのリンク。

• コクセター、HSM（1955）。実射影平面（第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。pp. 130–5。 

• サーモン、ジョージ（1900）。円錐曲線に関する論文。ロンドン：ロングマンズ、グリーン＆カンパニー、165ページ。 

• 「楕円の共役直径」 . cut-the-knot.org .
• Besant, WH (1895). 「共役直径の性質」.幾何学的に扱われた円錐曲線. 歴史的数学モノグラフ. ロンドン; イサカ、ニューヨーク: G. Bell;コーネル大学. p.  109.