角度分解能

角度分解能は、光学望遠鏡や電波望遠鏡、顕微鏡、カメラ、目などの画像形成デバイスが物体の細部を区別する能力を表し、画像分解能の主要な決定要因となります。これは、光波に適用される光学、電波に適用されるアンテナ理論、および音波に適用される音響学で使用されます。「分解能」という用語の日常的な使用は、混乱を招くことがあります。光学システムが高解像度または高角度分解能を持つと言われる場合、それは、分解された隣接する物体間の知覚距離、または実際の角度距離が小さいことを意味します。この特性を定量化する値θ はレイリー基準によって与えられ、高解像度のシステムでは低くなります。密接に関連する用語である空間分解能は、空間に関する測定の精度を指し、画像機器の角度分解能に直接関係しています。レイリーの基準は、画像形成システムによって分解できる最小の角度の広がりは、回折によって波の波長と開口幅の比に制限されることを示しています。このため、天体望遠鏡、長距離望遠カメラレンズ、電波望遠鏡などの高解像度画像システムは、大きな開口を備えています。

分解能とは、画像装置が小さな角度距離にある物体の点を分離する（すなわち、別個に見る）能力、または光学機器が遠く離れた近接した物体を個別の画像に分離する能力のことです。分解能または最小分解距離という用語は、画像内の識別可能な物体間の最小距離ですが、この用語は顕微鏡や望遠鏡の多くのユーザーによって分解能を説明するために漠然と使用されています。 以下に説明するように、回折限界分解能は、レイリー基準によって、各光源の最大値がもう一方の光源の回折パターン（エアリーディスク）の最初の最小値にある場合の 2 つの点光源の角度分離として定義されます。 科学的分析では、一般に「分解能」という用語は、機器が調査対象の標本またはサンプル内の変数を（画像またはスペクトルで）測定および記録する精度を説明するために使用されます。

イメージング システムの解像度は、収差または回折によって制限され、画像がぼやけます。これら 2 つの現象は原因が異なり、無関係です。収差は幾何光学で説明でき、原理的にはシステムの光学品質を高めることで解決できます。一方、回折は光の波動性から生じ、光学素子の有限の開口部によって決まります。レンズの円形開口部は、単一スリット実験の 2 次元バージョンに似ています。レンズを通過する光は、透過光の波面が出口開口部上で球面または平面であるとすると、リング状の回折パターン (エアリーパターン)を作り出し、レンズを通過します。

回折と収差の相互作用は、点像分布関数(PSF) によって特徴付けることができます。レンズの開口部が狭いほど、PSF は回折によって支配される可能性が高くなります。その場合、光学系の角度分解能は、レイリー卿によって定義されたレイリー基準によって(開口部の直径と光の波長から) 推定できます。2 つの点光源は、添付の写真に示すように、一方の画像のエアリー ディスクの主な回折最大値 (中心) がもう一方の画像のエアリー ディスクの最初の最小値と一致するときに、ちょうど分解されたと見なされます^{[1] [2]}。(レイリー基準の限界を示す右下の写真では、一方の点光源の中心最大値がもう一方の点光源の最初の最小値の外側にあるように見えるかもしれませんが、定規で調べると、2 つが交差していることが確認できます。) 距離が大きい場合、2 つの点は十分に分解され、小さい場合は分解されていないと見なされます。レイリーは、同じ強度の光源についてこの基準を擁護しました。^[2]

円形の開口部を通した回折を考慮すると、これは次のように変換されます。

${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{考慮する}}\,\sin \theta \approx \theta )}$

ここで、θは角度分解能（ラジアン）、λは光の波長、D はレンズの開口部の直径です。係数 1.22 は、回折パターンの中央のエアリーディスクを囲む最初の暗い円形リングの位置の計算から導き出されます。この数値はより正確には 1.21966989...（OEIS : A245461）であり、これは第一種 1 次ベッセル関数の最初のゼロをπで割った値です。 ${\displaystyle J_{1}(x)}$

正式なレイリー基準は、イギリスの天文学者WRドーズが以前に人間の観測者を同じ明るさの近い連星でテストして発見した経験的分解能の限界に近い。結果、 θ = 4.56/ D （ Dはインチ、θは秒角）は、レイリー基準で計算されたものよりもわずかに狭い。エアリーディスクを点像分布関数として使用した計算では、ドーズの限界では2つの最大値の間に5%の落ち込みがあるのに対し、レイリー基準では26.3%の落ち込みがあることがわかる。^{[3]点像分布関数の}デコンボリューションを含む現代の画像処理技術では、さらに角度の離れた連星の分解能も可能になっている。

小角近似を使用すると 、角度分解能は、角度（ラジアン）と物体までの距離を乗算することで空間分解能Δ ℓに変換できます。顕微鏡の場合、その距離は対物レンズの焦点距離 fに近くなります。この場合、レイリー基準は次のようになります。

${\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}}$。

これは、結像面において、平行光線を焦点にできる最小のスポットの半径であり、レンズが解像できる最小の物体のサイズにも対応します。^[4]サイズは波長λに比例するため、たとえば青色光は赤色光よりも小さなスポットに焦点を合わせることができます。レンズが有限の範囲の光線（たとえば、レーザー光線）を焦点に合わせている場合、 Dの値はレンズではなく光線の直径に対応します。 ^{[注 1]空間分解能は}Dに反比例するため、幅の広い光線は狭い光線よりも小さなスポットに焦点を合わせられるという、少し意外な結果につながります。この結果はレンズの フーリエ特性に関連しています。

同様の結果は、小さなセンサーが無限遠にある被写体を撮影する場合にも当てはまります。角度解像度は、画像センサーまでの距離をfとして、センサー上の空間解像度に変換できます。これは、画像の空間解像度をf値に関連付けます。f /#:

${\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)}$。

これはエアリーディスクの半径なので、解像度は直径で見積もったほうが良いでしょう。${\displaystyle 2.44\lambda \cdot (f/\#)}$

角度分解能よりも小さい角度で分離された点状の光源は分解できません。単一の光学望遠鏡は 1秒角未満の角度分解能を持つ場合がありますが、天体シーイングやその他の大気の影響により、これを達成するのは非常に困難です。

望遠鏡の 角度分解能Rは通常、次のように近似できる。

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{D}}}$

ここで、λは観測される放射の波長、Dは望遠鏡の対物レンズの直径です。結果のR はラジアンで表されます。たとえば、波長 580 nmの黄色光の場合 、0.1 秒角の分解能を得るには、D=1.2 m が必要です。角度分解能より大きい光源は拡張光源または拡散光源と呼ばれ、小さい光源は点光源と呼ばれます。

この式は、波長が約 562 nm の光に対して適用され、ドーズの限界とも呼ばれます。

望遠鏡の最高の角度分解能は、天文干渉計と呼ばれる望遠鏡のアレイによって達成できます。これらの機器は、光波長で 0.001 秒角の角度分解能を達成でき、X 線波長ではさらに高い分解能を達成できます。開口合成画像化を実行するには、必要な画像分解能の数分の 1 (0.25 倍) よりも優れた寸法精度で 2 次元配置に多数の望遠鏡を配置する必要があります。

干渉計アレイの角度分解能Rは通常、次のように近似できる。

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{B}}}$

ここで、λは観測された放射の波長、Bはアレイ内の望遠鏡の最大物理的分離の長さで、ベースラインと呼ばれます。結果のR はラジアンで表されます。角度分解能より大きい光源は拡張光源または拡散光源と呼ばれ、小さい光源は点光源と呼ばれます。

たとえば、波長 580 nm の黄色光で 1 ミリ秒角の解像度の画像を形成するには、145 nm を超える寸法精度で 120 m × 120 m の配列に配置された望遠鏡が必要です。

解像度R（ここでは距離として測定されており、前のサブセクションの角度解像度と混同しないように注意）は角度開口 に依存する：^[5]${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{コンデンサー}}+\mathrm {NA} _{\text{目的}}}}}$どこ。${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta }$

ここで、NA は開口数、はレンズの開先角の半分（レンズの直径と焦点距離によって決まる）、はレンズと標本間の媒体の屈折率、は標本を照らす光または標本から発せられる光（蛍光顕微鏡の場合）の波長です。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$

したがって、最大の解像度を得るには、対物レンズとコンデンサーの両方の NA をできるだけ高くする必要があります。両方の NA が同じ場合、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\about {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}}$

の実用的な限界は約 70° です。乾燥した対物レンズまたはコンデンサーでは、最大 NA は 0.95 になります。高解像度の油浸レンズでは、屈折率 1.52 の浸漬油を使用した場合、最大 NA は通常 1.45 です。これらの制限により、可視光を使用する光学顕微鏡の解像度の限界は約 200  nmです。可視光の最短波長が紫色( ) であることを考えると、 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \lambda \約 400\,\mathrm {nm} }$

${\displaystyle R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}}$

これは約200nmです。

油浸対物レンズは、被写界深度が浅く、作動距離が極めて短いため、実用上問題が生じる可能性があり、非常に薄い（0.17 mm）カバーガラス、または倒立顕微鏡の場合は薄いガラス底のペトリ皿を使用する必要があります。

しかし、この理論限界を下回る解像度は、超解像顕微鏡を使用することで達成できます。これには、近接場光学顕微鏡（近接場走査光学顕微鏡）または4Pi STED顕微鏡と呼ばれる回折技術が含まれます。両方の技術で、30 nmほどの小さな物体が解像されています。^{[6] [7]}これに加えて、光活性化局在顕微鏡ではそのサイズの構造を解像できるだけでなく、z方向（3D）の情報も提供できます。

• 角直径
• ビーム径
• ドーズの限界
• 回折限界システム
• 地上サンプル距離
• 画像解像度
• 光学解像度
• スパロウの解像度の限界
• 視力

• 「顕微鏡の概念と公式: 解像度」、Michael W. Davidson 著、Nikon MicroscopyU (Web サイト)。