順序（環論）

数学では、いくつかの体の特定の部分集合を順序と呼びます。整数の集合は有理数における順序です（唯一の順序です）。代数体では、${\displaystyle K}$順序とは、分数の体が である代数的整数の環のことである。${\displaystyle K}$⁠、そして最大次数は、しばしば⁠と表記される。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$⁠ は、 のすべての代数的整数の環です。${\displaystyle K}$非アルキメデス的な局所場において${\displaystyle K}$⁠、順序とは、非負の評価を持つ有限個の要素によって生成される部分環のことです。この場合、最大順序は⁠ と表記されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$⁠ は、非負の評価のすべての要素によって形成される評価リングです

一見異なる概念に同じ名前を与えるのは、数体の性質とそのすべての局所体の性質を関連付ける局所-大域原理に基づいている。

順序の定義は、ある程度文脈依存的である。最も単純な定義は、代数体におけるものである。${\displaystyle F}$注文${\displaystyle R}$は、​${\displaystyle F}$それは有限生成${\displaystyle \mathbb {Z} }$-モジュール、これは、${\displaystyle F}$すなわち、${\displaystyle \mathbb {Q} R=F.}$

一方、${\displaystyle F}$は非アルキメデス局所体であり、順序はコンパクト開部分環である。${\displaystyle R}$の${\displaystyle F}$この場合の最大位数は、その体の評価環である。

より一般的には、これら2つの特殊なケースを含み、${\displaystyle R}$分数体を持つ積分領域${\displaystyle K}$、${\displaystyle R}$有限次元における順序${\displaystyle K}$-代数${\displaystyle A}$部分環${\displaystyle {\mathcal {O}}}$の${\displaystyle A}$これは完全なものです${\displaystyle R}$-格子;つまり有限です${\displaystyle R}$-プロパティを持つモジュール${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$[ ^{1 ]​}

いつ${\displaystyle A}$可換環ではない場合でも、順序の概念は依然として重要ですが、現象は異なります。たとえば、フルヴィッツ四元数は、有理座標を持つ四元数の中で最大の順序を形成します。これらは、最も明白な意味での整数座標を持つ四元数ではありません。最大の順序は一般に存在しますが、一意である必要はありません。一般に最大の順序はなく、複数の最大の順序が存在します。重要な例のクラスは、整数群環です。

命令の例をいくつか挙げます: ^{[ 2 ]}

• もし${\displaystyle A}$マトリックスリングは${\displaystyle M_{n}(K)}$以上${\displaystyle K}$すると、マトリックスリング${\displaystyle M_{n}(R)}$以上${\displaystyle R}$は${\displaystyle R}$-注文${\displaystyle A}$
• もし${\displaystyle R}$は整数領域であり、${\displaystyle L}$有限分離拡張${\displaystyle K}$すると、積分閉包${\displaystyle S}$の${\displaystyle R}$で${\displaystyle L}$は${\displaystyle R}$-注文${\displaystyle L}$。
• もし${\displaystyle a}$で${\displaystyle A}$は、​${\displaystyle R}$すると多項式環${\displaystyle R[a]}$は${\displaystyle R}$代数における順序${\displaystyle K[a]}$
• もし${\displaystyle A}$グループリングは${\displaystyle K[G]}$有限群の${\displaystyle G}$、 それから${\displaystyle R[G]}$は${\displaystyle R}$-注文する${\displaystyle K[G]}$

基本的な特性${\displaystyle R}$-命令とは、${\displaystyle R}$-順序は整数です${\displaystyle R}$[ ^{3 ]​}

積分閉包が${\displaystyle S}$の${\displaystyle R}$で${\displaystyle A}$は${\displaystyle R}$-次に、すべての要素の整数性${\displaystyle R}$-order は、${\displaystyle S}$唯一の最大値でなければならない${\displaystyle R}$-注文${\displaystyle A}$。 しかし${\displaystyle S}$必ずしも${\displaystyle R}$-順序: 確かに${\displaystyle S}$指輪である必要すらなく、たとえ${\displaystyle S}$はリングです（たとえば、${\displaystyle A}$（可換である）ならば${\displaystyle S}$必ずしも${\displaystyle R}$-格子。^{[ 3 ]}

代表的な例は、${\displaystyle A}$数値フィールドです${\displaystyle K}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}}$は整数環である。代数的整数論では、任意の例が存在する。${\displaystyle K}$整数環の真部分環の有理体で、かつ位数でもあるもの以外。例えば、体拡大では${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ガウス有理数の${\displaystyle \mathbb {Q} }$の完全閉包${\displaystyle \mathbb {Z} }$はガウス整数 環である${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$したがって、これが唯一の最大値です${\displaystyle \mathbb {Z} }$-注文: 他のすべての注文${\displaystyle A}$その中に含まれています。例えば、次の形式の複素数の部分環を取ることができます。${\displaystyle a+2bi}$、 と${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$整数。^{[ 4 ]}

最大位数問題は、局所的な体レベルで検討することができる。この手法は、代数的整数論やモジュラー表現論において応用されている。

• フルヴィッツ四元数順序– リング順序の例

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989).アルゴリズム的代数的数論. 数学とその応用百科事典. 第 30巻. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001 . 
• ライナー、I. (2003).最大順序. ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ。第 28巻。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .