ヘテロ接合

幅が で中心が 0 の有限井戸に対するシュレーディンガー方程式を使用すると、達成される量子井戸の方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle l_{w}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{b}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+V\psi (z)=E\psi (z)\quad \quad {\text{ }}z<-{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (1)}$

${\displaystyle \quad \quad -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{w}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=E\psi (z)\quad \quad {\text{ }}-{\frac {l_{w}}{2}}}<z<+{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (2)} の場合$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{b}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+V\psi (z)=E\psi (z)\quad {\text{ for }}z>+{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (3)}$

^{上記の方程式の解は、kと[16]}が異なる（修正された）場合にのみよく知られている。${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m_{w}E}}{\hbar }}\quad \quad \kappa ={\frac {\sqrt {2m_{b}(VE)}}{\hbar }}\quad \quad (4)}$。

z =偶数パリティ解は次のように得られる。 ${\displaystyle +{\frac {l_{w}}{2}}}$

${\displaystyle A\cos({\frac {kl_{w}}{2}})=B\exp(-{\frac {\kappa l_{w}}{2}})\quad \quad (5)}$。

（５）を導関数として両辺に掛けると${\displaystyle {\frac {1}{m^{*}}}}$

${\displaystyle -{\frac {kA}{m_{w}^{*}}}\sin({\frac {kl_{w}}{2}})=-{\frac {\kappa B}{m_{b}^{*}}}\exp(-{\frac {\kappa l_{w}}{2}})\quad \quad (6)}$。

（6）を（5）で割ると、偶数パリティ解関数が得られる。

${\displaystyle f(E)=-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\tan({\frac {kl_{w}}{2}})-{\frac {\kappa }{m_{b}^{*}}}=0\quad \quad (7)}$。

同様に、奇数パリティ解の場合、

${\displaystyle f(E)=-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\cot({\frac {kl_{w}}{2}})+{\frac {\kappa }{m_{b}^{*}}}=0\quad \quad (8)}$。

数値解については、（７）と（８）の導関数をとると、

偶数パリティ:

${\displaystyle {\frac {df}{dE}}={\frac {1}{m_{w}^{*}}}{\frac {dk}{dE}}\tan({\frac {kl_{ w}}{2}})+{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\sec ^{2}({\frac {kl_{w}}{2}})\time { \frac {l_{w}}{2}}{\frac {dk}{dE}}-{\frac {1}{m_{b}^{*}}}{\frac {d\kappa }{dE}} \クワッド \クワッド (9-1)}$

奇数パリティ:

${\displaystyle {\frac {df}{dE}}={\frac {1}{m_{w}^{*}}}{\frac {dk}{dE}}\cot({\frac {kl_{ w}}{2}})-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\csc ^{2}({\frac {kl_{w}}{2}})\time { \frac {l_{w}}{2}}{\frac {dk}{dE}}+{\frac {1}{m_{b}^{*}}}{\frac {d\kappa }{dE}} \クワッド \クワッド (9-2)}$

どこ。 ${\displaystyle {\frac {dk}{dE}}={\frac {\sqrt {2m_{w}^{*}}}{2{\sqrt {E}}\hbar }}\quad \quad \quad {\frac {d\kappa }{dE}}=-{\frac {\sqrt {2m_{b}^{*}}}{2{\sqrt {VE}}\hbar }}}$

物質間の有効質量の差により、基底状態エネルギーの差が大きくなります。