量子チャネル

量子情報理論では、量子チャネルは古典情報だけでなく量子情報も伝送できる通信チャネルです。量子情報の例としては、量子ビットの一般的なダイナミクスがあります。古典情報の例としては、インターネットを介して送信されるテキスト文書があります。

用語的には、量子チャネルは演算子の空間間の完全に正の(CP) トレース保存マップです。言い換えると、量子チャネルは、システムの縮小されたダイナミクスとしてだけでなく、量子情報を運ぶためのパイプラインとして見られる量子操作にすぎません。(一部の著者は、「量子操作」という用語をトレース減少マップを含むものとして使い、「量子チャネル」という用語を厳密にトレース保存マップのために予約しています。^[1] )

ここでは、古典的または量子的なシステムについて、検討対象のすべての状態空間が有限次元であると仮定します。

セクションタイトルの「メモリレス」は、古典情報理論の場合と同じ意味を持ちます。つまり、特定の時間におけるチャネルの出力は、対応する入力のみに依存し、以前の入力には依存しません。

量子情報のみを伝送する量子チャネルを考えてみましょう。これはまさに量子操作であり、その特性をここでまとめます。

とをそれぞれ通信路の送信端と受信端の状態空間（有限次元ヒルベルト空間）とする。は上の演算子族を表す。シュレーディンガー描像において、純粋に量子的な通信路は、とに作用する密度行列間の写像であり、以下の性質を持つ：^[2]${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle H_{B}}$${\displaystyle L(H_{A})}$${\displaystyle H_{A}.}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle H_{B}}$

1. 量子力学の公理により、線形である必要があります。${\displaystyle \Phi }$
2. 密度行列は正なので、正の要素の円錐を保存する必要があります。言い換えると、は正のマップです。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$
3. 任意の有限次元nの補助写像がシステムに結合されている場合、補助写像I _n上の恒等写像である誘導写像も正でなければなりません。したがって、すべてのnに対してが正である必要があります。このような写像は完全に正であると呼ばれます。${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$
4. 密度行列はトレース 1 を持つように指定されているため、トレースを保持する必要があります。${\displaystyle \Phi }$

マップを説明するために使用される形容詞「完全に正」および「トレース保存」は、 CPTPと略されることがあります。文献では、4 番目の特性が弱められ、トレースが増加しないことのみが要求されることがあります。この記事では、すべてのチャネルが CPTP であると想定します。 ${\displaystyle \Phi }$

H _Aに作用する密度行列は、 H _A上の演算子の適切な部分集合のみを構成し、システムBについても同じことが言えます。しかし、密度行列間の線型写像が指定されると、標準的な線型性議論と有限次元仮定により、演算子の全空間に一意に拡張できます。これにより、ハイゼンベルク描像におけるの作用を記述する随伴写像が得られます。^[3]${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{*}}$${\displaystyle \Phi }$

作用素L ( H _A )とL ( H _B )の空間はヒルベルト・シュミットの内積を持つヒルベルト空間である。したがって、ヒルベルト空間間の写像として見ると、その随伴写像^*は次のように 与えられる。${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

はAの状態をBの状態に変換しますが、システムBの観測量をAの観測量にマッピングします。この関係は、ダイナミクスのシュレーディンガーとハイゼンベルクの記述の関係と同じです。観測量が固定されていると見なされる一方で状態が操作されるか、またはその逆であるかにかかわらず、測定統計は変化しません。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{*}}$

がトレース保存であると仮定すると、は単位、つまり であることが直接確認できます。物理的に言えば、これはハイゼンベルクの描像において、自明な観測量はチャネルを適用した後も自明なままであることを意味します。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{*}}$${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$

これまでは、量子情報のみを伝送する量子チャネルのみを定義してきました。導入部で述べたように、チャネルの入力と出力には古典情報も含まれる可能性があります。これを説明するには、これまでに示した定式化をある程度一般化する必要があります。純粋に量子的なチャネルは、ハイゼンベルクの描像では、演算子の空間間の線形マップ Ψ です。

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

つまり、単位元かつ完全に正の値 ( CP )です。演算子空間は有限次元のC*-代数として見ることができます。したがって、チャネルは C*-代数間の単位元 CP マップであると言えます。

${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}$

すると、この定式化に古典情報を含めることができます。古典システムの観測可能量は、可換 C* 代数、つまり、ある集合 上の連続関数の空間であると仮定できます。 は有限であると仮定し、エントリごとの乗算を伴う n次元ユークリッド空間と同一視できます。${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

したがって、ハイゼンベルクの描像では、古典的な情報が、例えば入力の一部である場合、関連する古典的な観測可能量を含めるように定義する。この例としては、チャネルが挙げられる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

は依然として C*-代数であることに注意してください。C *-代数の要素は、何らかの に対してである場合に正と呼ばれます。マップの正値はそれに応じて定義されます。この特徴付けは普遍的に受け入れられているわけではありません。量子計器は、量子情報と古典情報の両方を伝えるための一般化された数学的枠組みとして与えられることがあります。量子力学の公理化では、古典情報はフロベニウス代数またはフロベニウス カテゴリで伝えられます。 ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a=x^{*}x}$${\displaystyle x}$

純粋に量子的なシステムの場合、ある時刻tにおける時間発展は次のように表される。

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

ここで、Hはハミルトニアン、tは時間である。これはシュレーディンガー描像におけるCPTP写像を与え、したがってチャネルとなる。^[4]ハイゼンベルク描像における双対写像は ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

状態空間を持つ複合量子系を考える。状態 ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

システムA上のρの縮小状態ρ ^Aは、システムBに関するρの部分トレースを取ることによって得られる。

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

部分トレース演算はCPTP写像であり、したがってシュレーディンガー描像における量子チャネルである。^[5]ハイゼンベルク描像では、このチャネルの双対写像は

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

ここで、A はシステムAの観測可能量です。

観測可能量は、数値を量子力学的効果に関連付けます。は、適切な状態空間に作用する正の演算子であると想定されます。 （このような集合はPOVMと呼ばれます。^{[6] [7]}）ハイゼンベルク描像では、対応する観測可能マップは、古典的な観測可能量をマップします。 ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

量子力学的なものに

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

言い換えれば、f をPOVM に対して積分して量子力学的観測量を取得します。 がCP かつユニタルであることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle \Psi }$

対応するシュレーディンガー写像は密度行列を古典的状態に変換する：^[8]${\displaystyle \Psi ^{*}}$

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

ここで内積はヒルベルト・シュミット内積である。さらに、状態を正規化された関数として見て、リースの表現定理を適用すると、

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

シュレーディンガー描像における観測可能マップは純粋に古典的な出力代数を持ち、したがって測定統計のみを記述します。状態変化も考慮に入れるために、量子計器と呼ばれるものを定義します。 を観測可能量に関連付けられた効果 (POVM) とします。シュレーディンガー描像では、計器は純粋な量子入力と出力空間 を持つマップです。 ${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \rho \in L(H)}$${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

させて

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

ハイゼンベルク図の双対写像は

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

ここで、は次のように定義されます: 因数分解(POVM の要素は正なので、これは常に実行できます)、 です。 はCP かつ単位である ことがわかります。${\displaystyle \Psi _{i}}$${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$${\displaystyle \Psi }$

は観測可能なマップを正確に与えていることに注目してください。マップ ${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

全体的な状態の変化を説明します。

2 つの当事者AとB が次の方法で通信したいとします。Aは観測可能なものの測定を実行し、測定結果をBに古典的に伝えます。Bは受信したメッセージに従って、(量子) システムを特定の状態に準備します。シュレーディンガー図では、チャネル_{1の最初の部分は、} A が測定を行うこと、つまり観測可能なマップ で構成されています。${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

i番目の測定結果の場合、 Bがシステムを状態R _iに準備すると、チャネル₂の2番目の部分は上記の古典的な状態を密度行列に持っていく。 ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

全体の操作は構成です

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

この形式のチャネルは、測定と準備またはエンタングルメント破壊と呼ばれます。^{[9] [10] [11] [12]}

ハイゼンベルクの描像では、双対写像は次のように定義される。 ${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

測定と準備のチャネルは恒等写像にはなり得ません。これはまさに、古典的なテレポーテーション（エンタングルメント支援テレポーテーションと混同しないでください）は不可能であるという非テレポーテーション定理の記述です。言い換えれば、量子状態は確実に測定できないということです。

チャネル状態双対性では、チャネルが測定および準備型となるのは、対応する状態が分離可能である場合のみです。実際には、測定および準備型チャネルの部分的な動作から生じるすべての状態は分離可能であるため、測定および準備型チャネルはエンタングルメント破壊チャネルとも呼ばれます。

ハイゼンベルクの描像における純粋に量子的なチャネルの場合を考えてみましょう。すべてが有限次元であるという仮定のもとで、行列の空間間の単位CP写像は ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

完全正値写像に関するチェの定理により、は次のような形を取る必要がある。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

ここでN ≤ nm。行列K _iは のクラウス演算子と呼ばれる（これを導入したドイツの物理学者カール・クラウスにちなんで）。 ^{[13] [14] [15]}クラウス演算子の最小数は のクラウス階数と呼ばれる。クラウス階数が 1 のチャネルは純粋 と呼ばれる。時間発展は純粋チャネルの一例である。この用語もチャネル状態の双対性から来ている。チャネルが純粋であるためには、その双対状態が純粋状態である必要がある。 ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$

量子テレポーテーションでは、送信者は粒子の任意の量子状態を遠く離れた受信者に送信したいとします。したがって、テレポーテーション プロセスは量子チャネルです。プロセス自体の装置には、エンタングルメント状態の 1 つの粒子を受信者に送信するための量子チャネルが必要です。テレポーテーションは、送信された粒子と残りのエンタングルメント粒子の共同測定によって発生します。この測定の結果、テレポーテーションを完了するために受信者に送信しなければならない古典情報が生成されます。重要なのは、古典情報は量子チャネルが存在しなくなった後でも送信できることです。

実験的には、量子チャネルの単純な実装は、単一光子の光ファイバー（または自由空間）伝送です。単一光子は、標準的な光ファイバーで損失が支配的になる前に最大 100 km 伝送できます。^[要出典] 光子の到着時間（時間ビンエンタングルメント）または偏光は、量子暗号化などの目的で量子情報をエンコードするための基準として使用されます。チャネルは、基底状態（例、）だけでなく、それらの重ね合わせ（例）も伝送できます。状態のコヒーレンスは、チャネルを介した伝送中も維持されます。これを、古典的な情報（例：0 と 1）のみを送信できるワイヤ（古典的なチャネル）を介した電気パルスの伝送と比較してください。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle +|1\rangle }$

チャネル容量の定義を与える前に、チャネルの完全有界性のノルム、またはcb ノルムの予備概念について説明する必要があります。チャネルの容量を検討する場合、それを「理想的なチャネル」と比較する必要があります。たとえば、入力代数と出力代数が同一である場合、恒等写像を とすることができます。このような比較には、チャネル間のメトリックが必要です。チャネルは線形演算子として見ることができるため、自然演算子ノルムを使用するのは魅力的です。言い換えると、理想的なチャネルへの の近さは次のように定義できます。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

ただし、何らかの補助関数上の恒等写像で テンソル化すると、演算子ノルムが増加する可能性があります。${\displaystyle \Phi }$

演算子ノルムをさらに望ましくない候補にするには、量

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

は、C*-代数間の任意の線形写像に対してcb-ノルム を導入することで、無限に増加する可能性がある。${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

ここで使用されるチャネルの数学的モデルは古典的なものと同じです。

をハイゼンベルク描像のチャネルとし、を選択された理想的なチャネルとする。比較を可能にするには、適切なデバイスを介してΦをエンコードおよびデコードする必要がある。つまり、次の合成を考える。 ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}}$${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

ここで、Eはエンコーダー、D はデコーダーです。このコンテキストでは、EとD は適切なドメインを持つ単位 CP マップです。関心のある量は最良のシナリオです。

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

最小値はすべての可能なエンコーダとデコーダに適用されます。

長さnの単語を送信するには、理想的なチャネルをn回適用する必要があるため、テンソルのべき乗を考慮する。

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

操作は、独立して操作を受けるn個の入力を記述し、連結の量子力学的対応物です。同様に、チャネルの m 回の呼び出しはに対応します。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \Psi _{id}}$${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$

数量

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

したがって、これは、 m回呼び出されることによって長さnの単語を忠実に送信するチャネルの能力の尺度となります。

これにより、次の定義が導かれます。

非負の実数rは、${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi _{id}}$

およびとなるすべてのシーケンスについて、${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

シーケンスは、おそらく無限の数の単語で構成されるメッセージを表すものとして考えることができます。定義の極限の上限条件は、極限では、単語の長さのr倍以下でチャネルを呼び出すことで、忠実な送信を実現できることを示しています。また、 r は、チャネルの呼び出しごとにエラーなく送信できる文字数である と言うこともできます。${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$

で表されるに対するのチャネル容量は${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi _{id}}$、達成可能なすべてのレートの最大値です。 ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$

定義から、どのチャネルでも 0 が達成可能なレートであるというのは明らかに真実です。

前述のように、観測可能な代数を持つシステムの場合、理想的なチャネルは定義により恒等写像 です。したがって、純粋にn次元の量子システムの場合、理想的なチャネルはn  ×  n行列の空間上の恒等写像です。表記法の若干の乱用として、この理想的な量子チャネルは とも表記されます。同様に、出力代数を持つ古典的なシステムには、同じ記号で表される理想的なチャネルがあります。これで、いくつかの基本的なチャネル容量を述べることができます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Psi _{id}}$${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

量子理想通信路に対する古典理想通信路の通信路容量は ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

これはテレポーテーション不可能定理に相当します。つまり、古典的なチャネルを介して量子情報を伝送することは不可能です。

さらに、次の等式が成り立ちます。

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

上記は、例えば、理想的な量子チャネルは、理想的な古典チャネルよりも古典情報の伝送効率が高くないことを示しています。n = m の場合、達成できる最良の結果は量子ビットあたり 1 ビットです。

ここで注目すべきは、上記の容量の限界はどちらも、エンタングルメントの助けを借りて破ることができるということです。エンタングルメント支援テレポーテーション方式により、古典的なチャネルを使用して量子情報を伝送できます。超高密度コーディングにより、量子ビットあたり 2 ビットが実現します。これらの結果は、量子通信においてエンタングルメントが果たす重要な役割を示しています。

前の節と同じ表記を用いると、チャネルの 古典的な容量Ψは

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

つまり、これは古典的な1ビットシステム上の理想的なチャネルに対するΨの容量です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

同様にΨの 量子容量は

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

ここで、参照システムは 1 量子ビット システムになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

量子チャネルが情報をどれだけよく保存しているかを表す別の尺度はチャネル忠実度と呼ばれ、量子状態の忠実度から生じます。2つの純粋状態とが与えられた場合、忠実度は、そのうちの1つがもう1つを識別するために設計されたテストに合格する確率です。これは、比較される2つの状態が密度行列で与えられる場合に一般化できます。^{[16] [17]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$$${\displaystyle F(|\psi \rangle ,|\phi \rangle )=|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}.}$$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$$

与えられたチャネルのチャネル忠実度は、最大限にエンタングルされたシステムのペアの半分をそのチャネルに送り、結果の状態と元の入力との間の忠実度を計算することによって求められます。^[18]

双確率的量子通信路は、ユニタリーである量子通信路である^[19] 。すなわち、これらの通信路には、ユニタリー進化、ユニタリーの凸結合、および（2より大きい次元では）他の可能性も含まれる。^[20]${\displaystyle \Phi (\rho )}$${\displaystyle \Phi (I)=I}$

• 非通信定理
• 振幅減衰チャネル
• 量子脱分極チャネル

• Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017).量子状態の幾何学: 量子エンタングルメント入門(第 2 版). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4。
• Holevo, Alexander S. (2001).量子論の統計的構造.物理学講義ノート. モノグラフ. Springer. ISBN 3-540-42082-7。
• Keyl, M.; Werner, RF (2002)。「小さな量子エラーを修正する方法」。Buchleitner, Andreas、Hornberger, Klaus (編)。ノイズの多い環境でのコヒーレント進化。物理学講義ノート。第 611 巻。Springer。pp.  263– 286。arXiv : quant - ph/0206086。doi : 10.1007/3-540-45855-7_7。ISBN 978-3-540-44354-4。
• ワイルド、マーク M. (2017).量子情報理論(第 2 版). ケンブリッジ大学出版局. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976. ISBN 9781316809976。