チャネル状態の二重性

量子情報理論において、チャネル状態双対性は、量子チャネルと量子状​​態（密度行列で記述される）との対応関係を指す。言い換えれば、この双対性は、AからC ^{n × n}への完全な正の写像（チャネル）間の同型性であり、ここでAはC*代数であり、C ^{n × nは}n × nの複素要素を表す。また、テンソル積上の 正の線形関数（状態）

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes A.}$

H ₁とH _{2 を}（有限次元）ヒルベルト空間とする。H _iに作用する線型作用素の族をL ( H _i )で表す。1と 2 でインデックス付けされた 2 つの量子系を考え、その状態をそれぞれL ( H _i )の密度行列とする。シュレーディンガー描像における量子チャネルは、完全に正の（略して CP ）トレース保存線型写像である。

${\displaystyle \Phi :L(H_{1})\rightarrow L(H_{2})}$

システム 1 の状態をシステム 2 の状態に移行します。次に、Φ に対応するデュアル状態について説明します。

E _{i j を、} ij番目の要素が1で、それ以外が0である行列単位とします。(演算子)行列

${\displaystyle \rho _{\Phi }=(\Phi (E_{ij}))_{ij}\in L(H_{1})\otimes L(H_{2})}$

はΦ のChoi 行列と呼ばれます。完全正値写像に関する Choi の定理により、 ρ _Φが正値 (半正定値)の場合にのみ Φ は CP になります。ρ _{Φ を}密度行列と見なすことができ、したがって Φ の状態双対となります。

チャネルと状態の二重性は、マップを参照します

${\displaystyle \Phi \rightarrow \rho _{\Phi },}$

線型一対一写像。この写像は、ジャミオウコフスキー同型写像またはチェイ–ジャミオウコフスキー同型写像とも呼ばれます。

この同型性は、 CH BennettとG. Brassard ^[1]によって考案されたBB84プロトコルなどの「準備と測定」量子鍵配布（QKD）プロトコルが、 AK Ekert ^[2]によって導入された「エンタングルメントベース」QKDプロトコルと同等であることを示すために使用されます。これに関する詳細は、M. Wildeの著書「量子情報理論」などに記載されています。^[3]