現在の価値

経済学と金融において、現在価値( PV ) は割引現在価値( PDV )とも呼ばれ、評価日時点で決定される期待収益ストリームの価値です。現在価値は将来価値よりも低くなります。これは、貨幣には利子を稼ぐ可能性があり、この特性は貨幣の時間的価値と呼ばれるためです。ただし、マイナス金利のときは、現在価値が将来価値以上になります。^[1]時間的価値は、「今日の 1 ドルは明日の 1 ドルよりも価値がある」という簡単なフレーズで説明できます。ここで、「価値がある」とは、その価値が明日よりも大きいことを意味します。今日の 1 ドルは明日の 1 ドルよりも価値があるのは、1 ドルを投資して 1 日分の利子を稼ぐことができ、合計が明日までに 1 ドル以上の価値に蓄積されるためです。利子は家賃に例えることができます。^[2]家賃が借主から家主に支払われ、資産の所有権が移転されないのと同様に、利子は、返済する前に一定期間お金にアクセスできる借り手から貸し手に支払われます。借り手にお金へのアクセスを許可することで、貸し手はこのお金の交換価値を犠牲にし、利息の形でそれを補償します。借り入れた資金の初期額（現在価値）は、貸し手に支払われる合計金額よりも少なくなります。

現在価値の計算、および同様の将来価値の計算は、ローン、住宅ローン、年金、償却基金、永久債、債券などの価値を評価するために使用されます。これらの計算は、同時に発生しないキャッシュフローを比較するために使用されます。 ^[1]値を比較するには、時間と日付が一貫している必要があるためです。投資するプロジェクトを決定するときは、予想される収入ストリームを対応するプロジェクトの利率、または収益率で割り引くことにより、プロジェクトのそれぞれの現在価値を比較することで選択できます。現在価値が最も高い、つまり今日最も価値のあるプロジェクトを選択する必要があります。

今日 100 ドルか 1 年後の 100 ドルかの選択肢が提示され、年間を通じて実質金利がプラスの場合、合理的な人は今日 100 ドルを選ぶでしょう。これは経済学者によって時間選好と説明されています。時間選好は、米国財務省証券などのリスクのない証券を競売にかけることで測定できます。1 年後に支払われるゼロクーポンの 100 ドル紙幣が現在 80 ドルで販売されている場合、80 ドルは 1 年後には 100 ドルになる紙幣の現在価値です。これは、お金を銀行口座や将来利息が返ってくるその他の (安全な) 投資に預けることができるためです。

いくらかのお金を持っている投資家には、今すぐ使うか、貯金するかという 2 つの選択肢があります。しかし、貯金する (使わない) ことに対する金銭的補償は、借り手 (お金を預けている銀行口座) から受け取る複利 を通じてお金の価値が蓄積されることです。

したがって、一定期間後の今日のお金の実質価値を評価するために、経済主体は、一定の利率（金利）でお金の金額を複利計算します。ほとんどの保険数理計算では、銀行が口座保有者に期日通りにお金を返還するという債務不履行のリスクがないと仮定して、たとえば銀行の普通預金口座によって提供される最低保証利率に相当する無リスク金利を使用します。購買力の変化を比較するには、実質金利（名目金利からインフレ率を引いたもの）を使用する必要があります。

現在の価値を将来の価値に換算する操作は資本化と呼ばれます (今日の 100 ドルは 5 年後にいくらになるでしょうか?)。逆の操作、つまり将来の金額の現在の価値を評価する操作は割引と呼ばれます (たとえば、宝くじで 5 年後に受け取った 100 ドルは、今日いくらになるでしょうか?)。

したがって、今日 100 ドルを受け取るか、1 年後に 100 ドルを受け取るかを選択しなければならない場合、合理的な判断は今日 100 ドルを選択することです。お金を 1 年後に受け取る場合、普通預金口座の金利が 5% であると仮定すると、2 つのオプション (今日 100 ドルを受け取るか、1 年後に 105 ドルを受け取るか) が同等になるように、1 年後に少なくとも 105 ドルが提供されることになります。これは、100 ドルを普通預金口座に預けた場合、銀行の債務不履行によって当初の金額を失うリスクがないと仮定すると、1 年後にはその価値が 105 ドルになるためです。

利子とは、ある期間の初めから終わりまでの間に得られる追加の金額である。利子はお金の時間的価値を表し、貸し手から借りたお金を使うために借り手に要求される家賃と考えることができる。^{[2] [3]}たとえば、個人が銀行ローンを借りると、その個人には利子が課される。あるいは、個人が銀行にお金を預けると、そのお金には利子がつく。この場合、銀行は資金の借り手であり、口座保有者に利子を入金する責任がある。同様に、個人が企業に投資すると（社債または株式を通じて）、その企業は資金を借り入れており、個人に利子を支払わなければならない（クーポン支払い、配当、または株価上昇の形で）。^[1] 利子率は、1複利期間中の金額の変化をパーセンテージで表したものである。複利期間とは、利子が入金される、つまり合計に加算されるまでに経過しなければならない時間の長さである。^[2]たとえば、年複利の利息は年に一度入金され、複利期間は1年です。四半期複利の利息は年に4回入金され、複利期間は3か月です。複利期間は任意の長さにすることができますが、一般的な期間は、年、半年、四半期、月、日、さらには連続です。

金利にはいくつかの種類と条件が関連しています。

• 複利は、その後の期間にわたって指数関数的に増加する利息である。
• 単利、増加しない加算利子
• 実効金利、複数の複利期間と比較した実質的な等価物
• 名目年利、複数期間の単純年利
• 割引率、逆の計算をするときの逆の利子率
• 連続複利、つまり期間がゼロである金利の数学的限界。
• インフレを考慮した実質金利。

将来のある時点で現在の金額を評価する操作は資本化と呼ばれます（今日の100は5年後にいくらになるでしょうか？）。逆の操作、つまり将来の金額の現在の価値を評価する操作は割引と呼ばれます（5年後に受け取った100は今日いくらになるでしょうか？）。^[3]

スプレッドシートには、現在価値を計算する関数が一般的に用意されています。Microsoft Excel には、単一の支払いに対する現在価値関数「=NPV(...)」と、一連の均等な定期支払いに対する現在価値関数「=PV(...)」があります。プログラムは、任意のキャッシュ フローと金利、または異なる時期の異なる金利スケジュールに対して、現在価値を柔軟に計算します。

最も一般的に適用される現在価値モデルは複利を使用します。標準的な計算式は次のとおりです。

${\displaystyle PV={\frac {C}{(1+i)^{n}}}\,}$

ここで、 は割引しなければならない将来の金額、は現在日付と合計額が になる日付の間の複利計算期間の数、は 1 複利計算期間の利率です (複利計算期間の終了日は、たとえば年、半年、四半期、月、日ごとに利子が適用される日です)。利率 はパーセントで表されますが、この式では小数として表されます。 ${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,i\,}$${\displaystyle \,i\,}$

多くの場合、現在価値係数と呼ばれる^[2]${\displaystyle v^{n}=\,(1+i)^{-n}}$

これは、負の時間を持つ将来価値の式からも求められます。

例えば、5年間で1000ドルを受け取る予定で、この期間の実質年利率が10％（または0.10）の場合、この金額の現在価値は

${\displaystyle PV={\frac {\$1000}{(1+0.10)^{5}}}=\$620.92\,}$

その解釈は、実効年利が10％の場合、個人は5年後に1000ドル、つまり今日620.92ドルを受け取ることに無関心であるということである。^[1]

数年後のお金の購買力は、同じ式で計算できます。この場合、 は想定される将来のインフレ率です。 ${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \,i\,}$

より低い割引率( i )を使用している場合、割引将来の現在価値はより高い値を持つことができます。

キャッシュフローとは、期末に支払われるまたは受け取られる金額であり、負の符号または正の符号で区別されます。通常、受け取ったキャッシュフローは正の符号（現金合計が増加）で示され、支払い出されたキャッシュフローは負の符号（現金合計が減少）で示されます。ある期間のキャッシュフローは、その期間の現金の純変化を表します。^[3]キャッシュフローのストリームの正味現在価値を計算するには、各キャッシュフローを現在価値係数と適切な複利期間数を使用して現在に割り引き、これらの値を組み合わせる必要があります。^[1]${\displaystyle \,NPV\,}$

たとえば、キャッシュフローのストリームが、第 1 期間の終わりに +$100、第 2 期間の終わりに -$50、第 3 期間の終わりに +$35 で構成され、複利期間あたりの利率が 5% (0.05) の場合、これら 3 つのキャッシュフローの現在価値は次のようになります。

${\displaystyle PV_{1}={\frac {\$100}{(1.05)^{1}}}=\$95.24\,}$

${\displaystyle PV_{2}={\frac {-\$50}{(1.05)^{2}}}=-\$45.35\,}$

${\displaystyle PV_{3}={\frac {\$35}{(1.05)^{3}}}=\$30.23\,}$ それぞれ

したがって、正味現在価値は次のようになります。

${\displaystyle NPV=PV_{1}+PV_{2}+PV_{3}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {-50}{(1.05)^{2}}}+{\frac {35}{(1.05)^{3}}}=95.24-45.35+30.23=80.12,}$

考慮すべき点がいくつかあります。

• 周期は連続していない可能性があります。その場合、指数は適切な周期数を反映して変更されます。
• 期間ごとの金利は同じではない場合があります。キャッシュフローは、適切な期間の金利を使用して割り引く必要があります。金利が変化する場合は、その合計を2番目の金利を使用して変化が発生した期間まで割り引いてから、最初の金利を使用して現在まで割り引く必要があります。^[2]たとえば、期間1のキャッシュフローが100ドル、期間2が200ドルで、最初の期間の金利が5％、2番目の期間の金利が10％の場合、正味現在価値は次のようになります。

${\displaystyle NPV=100\,(1.05)^{-1}+200\,(1.10)^{-1}\,(1.05)^{-1}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {200}{(1.10)^{1}(1.05)^{1}}}=\$95.24+\$173.16=\$268.40}$

• 利率は必ず支払期間と一致していなければなりません。一致しない場合は、支払期間または利率のいずれかを変更する必要があります。たとえば、指定された利率が実効年利率であるが、キャッシュフローが四半期ごとに受け取られる（または支払われる）場合は、四半期ごとの利率を計算する必要があります。これは、実効年利率 を四半期ごとに複利計算される名目年利率に変換することで実行できます。${\displaystyle \,i\,}$

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{4}}{4}}\right)^{4}}$^[2]

ここで、は名目年利率であり、四半期ごとに複利計算され、四半期あたりの利率は${\displaystyle i^{4}}$${\displaystyle {\frac {i^{4}}{4}}}$

多くの金融契約（債券、その他のローン、リース、給与、会費、年金（即時年金および期日年金を含む）、定額減価償却費など）では、構造化された支払いスケジュール、つまり一定の間隔で同じ金額を支払うことが規定されています。このような契約は年金と呼ばれます。このような支払いの現在価値を表す式は、等比級数の合計です。

年金には、即時年金と支払期限付き年金の2種類があります。即時年金の場合、支払いは各期間の終わりの1から時点に受領（または支払い）されますが、支払期限付き年金の場合、支払いは各期間の初めの0から時点に受領（または支払い）されます。^[3]現在価値を計算するときは、この微妙な違いを考慮する必要があります。 ${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \,n-1\,}$

支払期日到来年金は、利息獲得期間が 1 つ多い即時年金です。したがって、2 つの現在価値は次の係数で異なります。 ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{annuity due}}=PV_{\text{annuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

即時年金の現在価値は、キャッシュフローのストリームの時点 0 における値です。

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}=C\left[{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right],\qquad (1)}$

どこ：

${\displaystyle \,n\,}$= 期間数、

${\displaystyle \,C\,}$= キャッシュフローの額、

${\displaystyle \,i\,}$= 実効期間利率または収益率。

年金即時計算のための上記の式（1）は、一般のユーザーにはほとんど意味がなく、何らかの形の計算機器の使用を必要とします。より威圧感がなく、計算が簡単で、専門家でない人にも意味のある近似値があります。それは^{[4]で与えられます。}

${\displaystyle C\approx PV\left({\frac {1}{n}}+{\frac {2}{3}}i\right)}$

ここで、上記のように、C は年金支払額、PV は元金、n は最初の期間の終わりから始まる支払回数、i は期間ごとの利子率です。同様に、C は、利子率 i で n 期間にわたる PV のローンの定期的なローン返済です。この式は、ni≤3 の場合に有効です (n、i が正の場合)。完全を期すために、ni≥3 の場合、近似値は です。 ${\displaystyle C\approx PVi}$

この式は、状況によっては、計算を暗算のみに減らすことができます。たとえば、PV = 10,000 ドルのローンを n = 10 年間、15% の利子 (i = 0.15) で毎年返済する場合、ローンの返済額 (おおよそ) はいくらになるでしょうか。暗算のみで適用できるおおよその式は、C ≈ 10,000*(1/10 + (2/3) 0.15) = 10,000*(0.1+0.1) = 10,000*0.2 = 年間 2000 ドルです。真の答えは 1993 ドルで、非常に近い値です。

全体的な近似値は、金利 0≤i≤0.20 の場合は ±6% 以内 (すべての n≥1 の場合)、金利 0.20≤i≤0.40 の場合は ±10% 以内の精度です。ただし、これは「大まかな」計算のみを目的としています。

永久債とは、無期限に受け取ることのできる定期的な支払いを指しますが、そのような証券はほとんどありません。永久債の現在価値は、 n が無限大に近づくにつれて上記の式の限界値を取ることで計算できます。

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}.\qquad (2)}$

式（２）は、（１）からn期間延期された永久債の現在価値を減算するか、または支払いの現在価値を直接合計することによっても得られる。

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C}{(1+i)^{k}}}={\frac {C}{i}},\qquad i>0,}$

これらは等比級数を形成します。

ここでも、永久即時支払い（期間の終了時に支払いを受け取る）と永久支払期日支払い（期間の初めに支払いを受け取る）の間には違いがあります。また、年金計算と同様に、永久支払期日支払いと永久即時支払いは次の係数で異なります。 ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{perpetuity due}}=PV_{\text{perpetuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

参照:債券評価#現在価値アプローチ

企業は、投資家に資金を調達するために、利子の付く負債証券である債券を発行します。 ^[3]債券には額面、クーポン率、および満期日があり、満期日は、負債が満期になり返済しなければならないまでの期間数を表します。債券保有者は、債券が満期になるまで、半年ごとに（別途指定がない限り） のクーポン支払いを受け取ります。債券が満期になると、債券保有者は最後のクーポン支払いと債券の額面金額を受け取ります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$${\displaystyle Fr}$${\displaystyle F(1+r)}$

債券の現在価値は購入価格です。^[2] 購入価格は次のように計算できます。

${\displaystyle PV=\left[\sum _{k=1}^{n}Fr(1+i)^{-k}\right]}$ ${\displaystyle +F(1+i)^{-n}}$

クーポン率が市場の現在の金利に等しい場合、購入価格は債券の額面価格に等しく、この場合、債券は「額面」で販売されたと言われます。クーポン率が市場金利より低い場合、購入価格は債券の額面価格より低くなり、債券は「割引」、つまり額面以下で販売されたと言われます。最後に、クーポン率が市場金利より高い場合、購入価格は債券の額面価格より高くなり、債券は「プレミアム」、つまり額面以上で販売されたと言われます。^[3]

現在価値は加算されます。一連のキャッシュフローの現在価値は、それぞれの現在価値の合計です。詳細については、金銭の時間価値を参照してください。これらの計算は、次のような前提があるため、慎重に適用する必要があります。

• 物価上昇を考慮する必要がない、あるいはインフレのコストが金利に組み込まれているということ。インフレ連動債を参照。
• 支払いを受ける可能性が高い、またはデフォルトリスクが金利に組み込まれている。社債#リスク分析を参照。

(実際、一定の利率でのキャッシュフローの現在価値は、数学的には、そのキャッシュフローのラプラス変換の 1 つの点であり、変換変数 (通常は「s」で示される) を利率に等しくして評価されます。完全なラプラス変換は、すべての現在価値の曲線であり、利率の関数としてプロットされます。支払いが長い期間で区切られている離散時間の場合、変換は合計に縮小されますが、支払いがほぼ継続的に行われている場合は、連続関数の数学を近似値として使用できます。)

現在価値には主に 2 つの種類があります。キャッシュフローのタイミングと金額の両方に不確実性がある場合は、期待現在価値アプローチが適切な手法となることがよくあります。不確実性の下での現在価値では、将来の配当は条件付き期待値に置き換えられます。

• 従来の現在価値アプローチ- このアプローチでは、単一の推定キャッシュフローのセットと単一の金利（リスクに見合った、通常はコスト要素の加重平均）を使用して公正価値を推定します。
• 期待現在価値アプローチ- このアプローチでは、異なる/予想される確率を持つ複数のキャッシュフローシナリオと信用調整されたリスクフリーレートを使用して公正価値を推定します。

プロジェクトにリスクが伴わない場合、使用される金利はリスクフリー金利です。プロジェクトからの収益率はこの収益率と同等かそれ以上でなければならず、そうでなければ資本をこれらのリスクフリー資産に投資する方がよいでしょう。投資にリスクが伴う場合、リスクプレミアムを使用してこれを反映することができます。必要なリスクプレミアムは、プロジェクトを同様のリスクを伴う他のプロジェクトに要求される収益率と比較することによって見つけることができます。したがって、投資家はさまざまな投資に伴う不確実性を考慮することができます。

投資家、つまりお金を貸す側は、どの金融プロジェクトにお金を投資するかを決めなければなりませんが、現在価値はその決め方の一つです。^[1] 金融プロジェクトには、株価や社債価格などの初期投資が必要です。プロジェクトは、初期投資額に加えて、いくらかの余剰（例えば、利息や将来のキャッシュフロー）を回収することを主張しています。投資家は、各プロジェクトの現在価値を計算し（各計算に同じ金利を使用）、比較することで、どのプロジェクトに投資するかを決めることができます。現在価値が最も小さいプロジェクト、つまり初期投資が最も少ないプロジェクトが選ばれます。なぜなら、そのプロジェクトは、他のプロジェクトと同じリターンを、最も少ない金額で提供するからです。^[2]

将来の収入源を現在の資本金として評価する従来の方法は、平均予想年間キャッシュフローに「年数購入」と呼ばれる倍数を掛けることです。たとえば、99 年のリース契約で年間 1 万ドルの賃料で借主に貸し出されている不動産を第三者に売却する場合、「20 年購入」で取引が成立し、リースの価値は 20 × 1 万ドル、つまり 20 万ドルになります。これは、永久に 5% 割引された現在の価値に相当します。リスクの高い投資の場合、購入者はより低い年数の購入を要求するでしょう。これは、たとえば16 世紀初頭の修道院解散で没収された荘園の再販価格を設定する際にイギリス王室が使用した方法です。標準的な使用法は 20 年購入でした。^[5]

• 資本予算
• 現在の利回り
• 生涯価値
• 清算
• 正味現在価値

• ヘンダーソン、デビッド・R. (2008)。「現在価値」。経済学簡潔百科事典(第 2 版)。インディアナポリス:経済と自由の図書館。ISBN 978-0865976658. OCLC  237794267.