ポリコン

幾何学において、ポリコンは 一種の展開可能なローラーです。これは、頂角が偶数辺の正多角形の角度に等しい円錐の同一のピースで構成されています。^{[ 1 ] [ 2 ]}原理的には、偶数辺の正多角形と同じ数のポリコンが無限に存在します。^{[ 3 ]}このファミリーのほとんどのメンバーは、細長い紡錘形をしています。ポリコンファミリーは、スフェリコンを一般化したものです。これは、2017年にイスラエルの発明家デイビッド・ヒルシュによって発見されました。^{[ 1 ]}

• 正多角形の隣接する2つの辺を、それらの辺の共通頂点から最も遠い多角形の対称軸に達するまで延長する。
• 結果として得られる2つの線分を、共通の頂点を通る多角形の対称軸を中心に回転させることで、直円錐が作られる。
• 2つの平面が通過し、それぞれの平面は、多角形の中心点における法線と、2つの辺の2つの離れた頂点のうちの1つを含むようにする。
• 2つの平面の間にある円錐部分は複製される${\displaystyle {\frac {n}{2}}-1}$時代、${\displaystyle {n}}$は多角形の辺の数です。${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$部品は平面で接合され、紡錘形の物体が作られます。${\displaystyle {n}}$多角形の頂点を交互に通過する曲線状の辺。
• 得られたオブジェクトは、その対称面（多角形の平面）で半分に切断される。
• 2 つの同一の半分は、オフセット角度で回転させた後、再び結合されます。${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$^{[ 1 ]}

正多角形に基づく多角形${\displaystyle {n}}$エッジには${\displaystyle {n+2}}$頂点、${\displaystyle {n}}$そのうちの2つは多角形の頂点と一致し、残りの2つは立体の両端に位置する。${\displaystyle {n}}$辺はそれぞれ、円錐の表面が2 つの切断面のいずれかと交差する点で形成される円錐断面の半分である。多角形の断面の各側面には、${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$多角形の辺は（多角形の2番目の頂点ごとに）立体の端のいずれかに伸びています。片側の辺は、${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$反対側から。球状体の端（${\displaystyle {n=4}}$）は円形です。六角形の縁（${\displaystyle {n=6}}$）は放物線状である。他のすべての多角形の辺は双曲状である。^{[ 1 ]}

スフェリコンは、ポリコンファミリーの最初のメンバーです。^{[ 1 ]}また、ポリスフェリコン^{[ 4 ]}および2ディスクローラーの凸包（TDR凸包）^{[ 5 ] [ 1 ]}ファミリーのメンバーでもあります。各ファミリーにおいて、その構成方法は異なります。ポリスフェリコンとしては、頂角が のバイコーンをカットすることによって構成されます。${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$対称面で、得られた 2 つの部分をオフセット角度で回転させた後、再び結合する。${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$[ ^{4 ]} TDR凸包としては、中心で結合された2つの垂直な180°円形セクターの凸包です。 ^{[ 5 ]}ポリコンとしては、共通の頂点を通る対称軸を中心^に正方形 の隣接する2つの辺を回転させて作られた円錐が出発点となります。この特定の場合、辺の端が正方形のもう一方の対称軸に達するため、辺を延長する必要はありません。この特定の場合、2つの切断面が円錐の底面の平面と一致するため、何も破棄されず、円錐はそのまま残ります。もう1つの同一の円錐を作成し、2つの円錐を平面で結合すると、バイコーンが作成されます。ここからは、ポリ球面円錐として球面円錐を作成する場合と同じ方法で構築が続きます。^多球形^​​

各ポリコンの表面は単一の展開面です。したがって、ポリコン族全体は、スフェリコンの蛇行運動に関連した転がり特性を持ち、ポリスフェリコン族の一部も同様です。ポリスフェリコンの表面は円錐面と様々な種類の円錐台面（円錐面および／または円筒面）で構成されているため、それぞれの面が転がり面に接触するたびに転がり特性が変化します。これはポリコンには当てはまりません。ポリコンはそれぞれ1種類の円錐面のみで構成されているため、転がり特性は転がり運動全体を通して均一です。ポリコンの瞬間的な運動は、円錐が円錐面の1つを中心に転がる運動と同一です。${\displaystyle {n}}$中心の頂点。全体の動きはこれらの動きの組み合わせであり、各頂点は回転中に固体が回転する瞬間的な回転中心として機能します。${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$回転サイクルの。別の頂点が転がる面に接触すると、それが新しい一時的な回転中心となり、回転ベクトルは反対方向に反転します。結果として生じる全体的な動きは、平均的には直線的な蛇行です。2 つの極端な頂点はそれぞれ、転がる面に瞬時に接触します。${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$1回転サイクルで 回。多角形とそれが転がる表面との間の瞬間的な接触線は、円錐の生成線の 1 つのセグメントであり、この線に沿ったどこでも、多角形への接平面は同じです。^{[ 1 ]}

いつ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$は奇数であり、この接平面は、瞬間的に最上部にある多角形表面上の生成線への接平面から一定の距離にあります。したがって、多角形は、${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$奇数、一定高さのローラー（直円錐、円柱、またはルーロー三角形断面を持つ角柱など）${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$この機能さえ持っていない。^{[ 1 ]}

球面は、1980 年に David Hirsch が「蛇行運動を生成する装置」と名付けた特許^{[ 6 ]で初めて紹介されました。 [ 7 ]}特許に記載されている球面の構築原理は、多球面の構築原理と一致しています。それから 25 年以上経ってから、Scientific American Journal に球面に関する Ian Stewart の記事が掲載された後、木工旋盤 [17, 26] と数学 [16, 20] コミュニティのメンバーによって、同じ構築方法が正方形以外の正多角形の断面を持つ一連の軸対称オブジェクトに一般化できることが認識されました。この方法で得られる物体の表面 (球面自体を除く) は、1 種類の円錐面と、1 つ以上の円筒面または円錐台面から構成されます。 2017年、ヒルシュは、円錐台面を使用せずに単一の面に基づいて球面を一般化する別の方法を模索し始めた。この研究の結果、ポリコン族が発見された。この新しい族は、2019年にオーストリアのリンツで開催されたブリッジズ会議で、アート作品ギャラリー^{[ 6 ]}と映画祭^{[ 8 ]の両方で初めて紹介された。}