リープフロッグ統合

数値解析において、リープフロッグ積分とは、特に古典力学の力学系 の場合に、の形式 またはそれと同等の の形式の 微分方程式を数値的に積分する方法である。 $${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x),}$$$${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x),\;{\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,}$$

この方法は、分野によって異なる名前で知られています。特に、ベルレ積分の一種である速度ベルレ法に似ています。リープフロッグ積分は、位置と速度を、互いに 「リープフロッグ」するようにずらしながら、異なるインターリーブされた時点に更新することと同じです。${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle v(t)={\dot {x}}(t)}$

リープフロッグ積分は、 1次積分であるにもかかわらずステップごとに同じ数の関数評価を必要とするオイラー積分とは対照的に、2次の方法です。オイラー積分とは異なり、時間ステップが一定である限り、振動運動に対して安定であり、 です。^[1]${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t<2/\omega }$

吉田係数を使用し、正しいタイムステップでリープフロッグ積分器を複数回適用すると、はるかに高次の積分器を生成できます。

リープフロッグ積分では、位置と速度を更新するための方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}}$

ここで、はステップ での位置、はステップ での速度または の一次導関数、はステップ での加速度または の二次導関数、 は各時間ステップのサイズです。これらの式は、整数ステップでの速度を与える形式でも表すことができます。^[2]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i+1/2\,}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i+1/2\,}$${\displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}}$

しかし、この同期形式では、安定性を維持するために時間ステップを一定にする必要があります。^[3]${\displaystyle \Delta t}$

同期フォームは「キック-ドリフト-キック」フォームに再配置できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{\frac {\Delta t}{2}},\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

これは主に、可変の時間ステップが必要な場合に使用されます。加速度計算をステップの始めと終わりに分離すると、時間分解能が 2 倍 ( ) に増加しても、追加の (計算コストの高い) 加速度計算が 1 つだけ必要になります。 ${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$

この方程式の用途の 1 つは重力シミュレーションです。その場合、加速度は重力質量の位置にのみ依存し (速度には依存しません)、より高次の積分器 (ルンゲ・クッタ法など) がより頻繁に使用されます。

リープフロッグ積分を力学問題に適用すると、2 つの主な利点があります。1 つ目は、リープフロッグ法の時間可逆性です。n ステップ前方に積分し、次に積分の方向を逆にしてnステップ後方に積分すると、同じ開始位置に到達できます。2 つ目の利点は、シンプレクティックな性質です。これは、ハミルトン力学系のエネルギー(わずかに修正されています。シンプレクティック積分器を参照) を保存することを意味します。 ^[4]これは、軌道力学を計算するときに特に便利です。これは、(次数 4)ルンゲ・クッタ法などの他の多くの積分スキームがエネルギーを保存せず、システムが時間の経過とともに大幅にドリフトする可能性があるためです。

リープフロッグ積分は、時間可逆性とシンプレクティック積分器であることから、全体の正規化が不明な確率分布からランダムなサンプルを抽出する方法であるハミルトンモンテカルロ法でも使用されています。 ^[5]

リープフロッグ積分器は、吉田晴夫の技術を使用して、より高次の積分器に変換できます。このアプローチでは、リープフロッグをいくつかの異なるタイムステップに適用します。正しいタイムステップを順番に使用すると、エラーがキャンセルされ、はるかに高次の積分器を簡単に作成できることがわかります。^{[6] [7]}

4 次吉田積分器の 1 ステップには、4 つの中間ステップが必要です。位置と速度は、異なる時間に計算されます。必要なのは、3 つの (計算コストの高い) 加速度計算だけです。

位置と速度を更新するための4次積分器の方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,\\v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t、\\v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\、a(x_{i}^{3})\、\Delta t、\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\、v_{i}^{3}\、\Delta t、\\v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}}$

ここで、は開始位置と速度、は中間ステップ での中間位置と速度、は位置 での加速度、 は4 次吉田ステップ 1 回での最終位置と速度です。 ${\displaystyle x_{i},v_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a(x_{i}^{n})}$${\displaystyle x_{i}^{n}}$${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$

係数と は^[7]で導出される（式(4.6)を参照）。 ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},d_{2}\equiv w_{0}\\\end{aligned}}}$

すべての中間ステップは 1 つのステップを形成し、係数の合計は 1 になります:および。位置と速度は異なる時間に計算され、いくつかの中間ステップは時間的に逆方向に計算されることに注意してください。これを説明するために、係数の数値を示します: 、、、${\displaystyle \Delta t}$${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{1}=0.6756}$${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

• 常微分方程式の数値解析法
• シンプレクティック積分
• オイラー積分
• ヴェルレ統合
• ルンゲ・クッタ積分

• [1] ドレクセル大学物理学科