多面体に対するミンコフスキー問題

凸多面体の幾何学において、多面体に対するミンコフスキーの問題は、多面体の形状をその面の方向と大きさによって指定することに関する。^{[1]この情報によって、すべての多面体は}移動を除いて一意に決定されるという定理は、ヘルマン・ミンコフスキーによって証明された。これは「ミンコフスキーの定理」と呼ばれているが、ミンコフスキーのいくつかの無関係な結果にも同じ名前が付けられている。^[2]多面体に対するミンコフスキーの問題は、凸形状を曲率によって指定する ミンコフスキーの問題とも区別する必要がある。

任意の 次元多面体について、その面の方向と測度の集合を、面から垂直に外側を向き、その面の 次元測度に等しい長さを持つ、面ごとに 1 つずつの有限の次元非ゼロベクトルの集合によって指定することができます。 ^[3]有界多面体の有効な指定であるためには、これらのベクトルは 次元空間全体に広がり、同じ符号で 2 つが平行であってはなりません。さらに、それらの合計は 0 でなければなりません。この要件は、多面体を任意の超平面に垂直に投影する場合、上面の面が下面の面と同じ集合に投影されるため、上面の面と下面の投影測度が等しくなければならないという観察に対応しています。^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (d-1)}$${\displaystyle d}$

ヘルマン ミンコフスキーの定理によれば、次の必要条件は十分です。つまり、空間全体に広がり、同じ符号の平行線が 2 つ存在せず、合計が 0 になるベクトルの有限集合は、多面体の面方向と尺度を表します。さらに、この多面体の形状はこの情報によって一意に決定されます。つまり、同じベクトル集合を生成する 2 つの多面体は、互いに 平行移動します。

2つの多面体を表すベクトルの集合は、2つの集合の和をとり、2つの集合に同じ符号の平行ベクトルが含まれている場合は、それらの和で置き換えることによって加算できます。多面体の形状に対する結果として得られる演算は、ブラシュケ和と呼ばれます。これは、任意の多面体を単体に分解したり、中心対称多面体を平行六面体に分解したりするために使用できます。^[2]

特定の追加情報（面の方向とサイズを単位ベクトルと実数（負の場合もある）に分離し、面ごとに追加情報を提供するなど）があれば、これらの存在と一意性の結果を特定のクラスの非凸多面体に一般化することができます。^[4]

3次元多面体は、面の方向と周囲長によって一意に指定することもできます。ミンコフスキーの定理と、方向と周囲長によるこの指定の一意性には、共通の一般化があります。つまり、2つの3次元凸多面体が面の方向が同じであり、一方の多面体の面がもう一方の多面体の同じ方向の面の適切な部分集合に変換できないという特性を持つときはいつでも、2つの多面体は互いに変換されている必要があります。ただし、このバージョンの定理は、高次元には一般化されません。^{[4] [5]}

• アレクサンドロフの一意性定理
• コーシーの定理（幾何学）