自由の法則

数学において、Freiheitssatz（ドイツ語：「自由/独立定理」：Freiheit + Satz ）は、群の表示理論における結果であり、1つの関係子群の特定の部分群が自由群であることを述べています。

声明

グループプレゼンテーションを検討する

G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle

$n 個の$ 生成元 $x i$ と 1 つの巡回簡約関係子 $r$ によって与えられる。 $x 1 が$ $r$ に現れる場合、（自由法則によれば） $x$ $2$ $、...、$ $x$ $n$ によって生成される $G$ の部分群は、 $x$ $2$ $、...、$ $x$ $n$ によって自由に生成される自由群である。言い換えれば、 $x$ $2$ $、...、$ $x$ $n$ を含む関係は自明なものだけである。

歴史

この結果はドイツの数学者マックス・デーンが提唱し、彼の学生ヴィルヘルム・マグヌスが博士論文で証明した。^[1]デーンはマグヌスが位相的な証明を見つけることを期待していたが、^{[2]マグヌスは代わりに}数学的帰納法^[3]と群の併合積に基づく証明を見つけた。^[4]後にリンドン (1972) とヴァインバウム (1972) によって異なる帰納法に基づく証明が与えられた。^[3]^[5]^[6]

意義

自由大法は「一関係群論の基礎」となり、併合積の理論の発展の動機となった。また、非可換群論において、ベクトル空間やその他の可換群に関する特定の結果の類似物も提供している。^[4]

参考文献

^ ヴィルヘルム、マグナス(1930). 「関係を定義するグループ (Der Freiheitssatz)」。J. レーヌ・アンジェウ数学。163 : 141–165。
^ スティルウェル、ジョン(1999)。「マックス・デーン」。ジェームズ、IM (編) 著『トポロジーの歴史』。アムステルダム北ホラント。pp. 965–978。ISBN 0-444-82375-1. MR 1674906。特に973ページを参照してください。
^ ab リンドン、ロジャー C. ;シュップ、ポール E. (2001)。組み合わせ群理論。数学の古典。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。 p. 152.ISBN 3-540-41158-5. MR 1812024.
^ ab VA Roman'kov (2001) [1994]、「Freiheitssatz」、数学百科事典、EMS Press
^ リンドン、ロジャー C. ( 1972)。「自由法則について」。ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。5 : 95–101。doi :10.1112/ jlms /s2-5.1.95。hdl : 2027.42/135658。MR 0294465 。
^ Weinbaum, CM (1972). 「1つの定義関係を持つグループに対する関係子と図について」.イリノイ数学ジャーナル. 16 (2): 308–322. doi : 10.1215/ijm/1256052287 . MR 0297849.

[1] ヴィルヘルム、マグナス(1930). 「関係を定義するグループ (Der Freiheitssatz)」。J. レーヌ・アンジェウ数学。163 : 141–165。

[2] スティルウェル、ジョン(1999)。「マックス・デーン」。ジェームズ、IM (編) 著『トポロジーの歴史』。アムステルダム北ホラント。pp. 965–978。ISBN 0-444-82375-1. MR 1674906。特に973ページを参照してください。

[ls-3] リンドン、ロジャー C. ;シュップ、ポール E. (2001)。組み合わせ群理論。数学の古典。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。 p. 152.ISBN 3-540-41158-5. MR 1812024.

[eom-4] VA Roman'kov (2001) [1994]、「Freiheitssatz」、数学百科事典、EMS Press

[5] リンドン、ロジャー C. ( 1972)。「自由法則について」。ロンドン数学会誌。第 2 シリーズ。5 : 95–101。doi :10.1112/ jlms /s2-5.1.95。hdl : 2027.42/135658。MR 0294465 。

[6] Weinbaum, CM (1972). 「1つの定義関係を持つグループに対する関係子と図について」.イリノイ数学ジャーナル. 16 (2): 308–322. doi : 10.1215/ijm/1256052287 . MR 0297849.