正規不変

数学において、正規写像はウィリアム・ブラウダーによる幾何学的トポロジーの概念であり、外科理論において根本的に重要な意味を持つ。ポアンカレ複体X（より幾何学的にはポアンカレ空間）が与えられたとき、 X上の正規写像は、大まかに言えば、閉多様体のホモトピー理論的な大域構造の一部を空間に与える。特に、X は安定な正規束とトム崩壊写像の良い候補を持ち、これは多様体MからXへの写像が存在し、基本クラスに一致し、正規束の情報を保持することと同等である。Xの次元が${\displaystyle \geq }$5 そうなると、 CTC Wall to Xが実際には閉多様体とホモトピー同値であることによる代数トポロジー手術の障害だけが残ります。正規写像は、セルゲイ・ノビコフが先駆者となった、ホモトピー型内の多様体構造の一意性の研究にも適用されます。

X上の正規写像のコボルディズム類は正規不変量と呼ばれます。多様体のカテゴリー（微分可能、区分的線形、または位相的）に応じて、同様に定義されるものの、等価ではない正規写像と正規不変量の概念が存在します。

正規マップに対して手術を行うことが可能です。これは、領域多様体に対して手術を行い、マップを保存することを意味します。正規マップに対する手術により、相対ホモトピー群の要素を自明な正規束を持つ埋め込みとして表現することで、それらを体系的に消去することができます。

法線写像には、多様体の法線束を用いるか接線束を用いるかによって、2つの同等な定義が存在する。したがって、これらの定義を切り替えることが可能であり、これは非常に便利である。

1. 形式次元のポアンカレ複体X (すなわち、細胞鎖複体がポアンカレ双対性を満たすCW 複体) が与えられた。${\displaystyle n}$X上の正規マップは以下で構成されます 。
   • 地図${\displaystyle f\colon M\to X}$ある閉じたn次元多様体Mから、
   • 束${\displaystyle \xi }$X上の安定写像、および安定正規束からの安定写像$\nu_M$の${\displaystyle M}$に${\displaystyle \xi }$、 そして
   • 通常、正規マップは次数が1であると想定されます。つまり、基本クラスは${\displaystyle M}$マッピングされるべき${\displaystyle f}$基本的なクラスへ${\displaystyle X}$:${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$。
2. ポアンカレ複体が与えられた場合${\displaystyle X}$形式的な次元${\displaystyle n}$通常のマップ${\displaystyle X}$（接線束に関して）は以下から構成される。
   • 地図${\displaystyle f\colon M\to X}$閉鎖された一部の${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle M}$、
   • 束${\displaystyle \xi }$以上${\displaystyle X}$、そして安定接束からの安定写像$\displaystyle \tau _{M}\oplus \varepsilon ^{k}}$の${\displaystyle M}$に${\displaystyle \xi }$、 そして
   • 上記と同様に、基本クラスの${\displaystyle M}$マッピングされるべき${\displaystyle f}$基本的なクラスへ${\displaystyle X}$:${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$。

2つの正規写像は、それらの間に正規境界が存在する場合に同等である。

1. X を有限のn次元ポアンカレ複体とする。定義を用いると便利である。$\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$法束を持つ。滑らかな多様体には一意の接束と一意の安定法束があることを思い出してください。しかし、有限ポアンカレ複体はそのような一意の束を持ちません。それでも、ある意味で一意な球面ファイブレーションである、いわゆるスピヴァック法ファイブレーションという代替物を持っています。これは、もし${\displaystyle X}$ホモトピーが多様体と同値であれば、その多様体の法束の引き戻しに関連付けられた球面ファイブレーションは、スピヴァク法ファイブレーションと同型である。したがって、$\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset }$すると、スピヴァク正規ファイブレーションには束縮小が存在する。ポントリャーギン・トム構成によれば、その逆もまた真である。

これはホモトピー理論の観点から定式化できる。${\displaystyle BG}$安定な球状ファイブレーションの分類空間、 ${\displaystyle BO}$安定ベクトル束の分類空間とマップ${\displaystyle J\colon BO\rightarrow BG}$これは、${\displaystyle O\hookrightarrow G}$これは、ベクトル束の関連する球面ファイブレーションを取ることに相当する。実際、ファイブレーション列が存在する。${\displaystyle BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$スピヴァク正常線維化はマップによって分類される。${\displaystyle \nu _{X}\colon X\rightarrow BG}$ベクトル束縮小を持つのは、$\displaystyle \nu _{X}}$エレベーターがあります$\displaystyle {\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO}$これは、構成が${\displaystyle X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$ヌルホモトピックである。

ホモトピー群は${\displaystyle B(G/O)}$特定の低次元では既知であり、非自明であるため、上記の条件が何らかの場合に成り立たない可能性を示唆している。${\displaystyle X}$実際、そのような有限ポアンカレ複体は存在し、最初の例はギトラーとスタシェフによって得られ、多様体とホモトピー同値でないポアンカレ複体の例となった。

2. 上記の考察を相対化すると、（不自然な）全単射が得られる。

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O].}$

上記の全単射により$\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$空間がアーベル群の構造であるため${\displaystyle G/O}$これはループ空間であり、実際には無限ループ空間であるため、正規不変量は、その無限ループ空間によって定義される異常コホモロジー理論のゼロ次コホモロジー群である。他の多様体のカテゴリーでも同様の考え方が適用され、全単射が存在することに注意されたい。

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$、 そして${\displaystyle {\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]}$、 そして${\displaystyle {\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].}$

空間はよく知られている

${\displaystyle G/O}$、${\displaystyle G/PL}$そして${\displaystyle G/TOP}$

これらは互いにホモトピー同値ではないため、3つの異なるコホモロジー理論が得られる。

サリバンは事例を分析した。${\displaystyle G/PL}$そして${\displaystyle G/TOP}$彼は、これらの空間が、実際には次の観点から見てより優れた代替無限ループ空間構造を持つことを示した。正規不変量からL群への手術障害写像があることを思い出してほしい。上記の正規不変量上の群構造では、この写像は準同型ではない。しかし、サリバンの定理による群構造では、この写像は圏において準同型となる。${\displaystyle CAT=PL}$、 そして${\displaystyle TOP}$彼の定理は、これらの新しい群構造を、特異コホモロジーや実K理論といったよく知られたコホモロジー理論と結びつけている。

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• ギトラー、サミュエル；スタシェフ、ジェームズ D. (1965 年 11 月)、「BF の最初のエキゾチック クラス」、トポロジー、4 (3): 257–266、doi : 10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Lück, Wolfgang (2002)、「外科理論の基礎入門（PDF）」、ICTP講義ノートシリーズ9、第1巻、2001年5月/6月にトリエステで開催された「高次元多様体理論」スクール、アブドゥス・サラム国際理論物理学センター、トリエステ1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Algebraic and Geometric Surgery , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886 , doi : 10.1093/acprof:oso/9780198509240.001.0001 , ISBN  978-0-19-850924-0MR 2061749​ 
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