否定

否定

ない
意味	${\displaystyle \lnot {x}}$
真理値表	${\displaystyle (01)}$
論理ゲート
正規形
分離的	${\displaystyle \lnot {x}}$
接続詞	${\displaystyle \lnot {x}}$
ジェガルキン多項式	${\displaystyle 1\oplus x}$
ポストの格子
0 保存	いいえ
1-保存	いいえ
単調	いいえ
アフィン	はい
自己双対	はい
ヴ t e

論理学において、否定は論理的否定または論理的補語とも呼ばれ、命題を別の命題「not 」に変換する演算であり、、、^[1]またはと書きます。^{[要出典] が}偽のときは真、が真のときは偽であると直感的に解釈されます。^{[2] [3]}たとえば、が「スポットは走る」場合、「not 」は「スポットは走らない」となります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle {\mathord {\sim}}P}$${\displaystyle P^{\prime}}$${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

否定は単項 論理接続詞です。さらに、これは命題だけでなく、より一般的には概念、真理値、または意味値にも適用できます。古典論理では、否定は通常、真を偽にする(またはその逆)真理関数と同一視されます。直観主義論理では、 Brouwer-Heyting-Kolmogorov 解釈によれば、命題の否定は、その証明が反証である命題です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

否定の被演算子はnegand [ 4 ^]またはnegatum ^[4]である。

古典的な否定は、1 つの論理値(通常は命題の値)に対する演算であり、オペランドが偽の場合はtrueの値を生成し、オペランドが真の場合は falseの値を生成します。したがって、文が真の場合、(「not P」と発音) は false になります。逆に、が真の場合、はfalse になります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P}$

の真理値表は次のとおりです。 ${\displaystyle \neg P}$

否定は、他の論理演算によって定義できます。たとえば、 は(ここでは論理的帰結、は絶対的な偽)と定義できます。逆に、任意の命題Q (ここで は論理的連言) についてを と定義できます。ここでの考え方は、あらゆる矛盾は偽であるというものです。これらの考え方は古典論理と直観論理の両方で機能しますが、矛盾が必ずしも偽ではない無矛盾論理では機能しません。さらに別の例として、否定は NAND によって定義することも、NOR によって定義することもできます。 ${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\rightarrow \bot }$${\displaystyle \rightarrow}$${\displaystyle \bot}$${\displaystyle \bot}$${\displaystyle Q\land \neg Q}$${\displaystyle \land}$

代数的には、古典的否定はブール代数の相補に対応し、直観主義的否定はハイティング代数の擬似相補に対応します。これらの代数は古典的論理と直観主義論理の意味論を提供します。

命題pの否定は、さまざまな議論の文脈や応用分野で、さまざまな方法で表記されます。次の表は、これらのバリエーションのいくつかを示しています。

表記はポーランド語表記です。 ${\displaystyle Np}$

集合論では、は「 の集合に含まれない」ことを示すためにも使用されます。は、 AのメンバーではないUのすべてのメンバーの集合です。 ${\displaystyle \setminus }$${\displaystyle U\setminus A}$

どのように表記または記号化されるかに関係なく、否定は「 Pではない」、「Pではない」、または通常はもっと簡単に「Pではない」と読むことができます。 ${\displaystyle \neg P}$

必要な括弧の数を減らす方法として、優先順位のルールを導入することができます。¬は∧よりも優先順位が高く、∧は∨よりも優先順位が高く、∨は→よりも優先順位が高くなります。たとえば、は${\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}$${\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.}$

以下は、よく使われる論理演算子の優先順位を示した表です。^[6]

古典論理のシステムでは、二重否定、つまり命題の否定の否定は、論理的には と同等です。記号で表現すると、です。直観主義論理では、命題は二重否定を意味しますが、その逆は成り立ちません。これが古典的否定と直観主義的否定の重要な違いの 1 つです。代数的には、古典的否定は周期 2 の 反転と呼ばれます。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg \neg P\equiv P}$

しかし、直観主義論理では、より弱い同値性は成り立ちます。これは、直観主義論理では、が の省略形にすぎず 、 も成り立つためです。最後の含意を三重否定と組み合わせると、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \neg \neg \neg P\equiv \neg P}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\rightarrow \bot }$${\displaystyle P\rightarrow \neg \neg P}$${\displaystyle \neg \neg P\rightarrow \bot }$${\displaystyle P\rightarrow \bot }$

その結果、命題の場合、二重否定が直観的に証明可能であれば、その文は古典的に証明可能です。この結果はグリベンコの定理として知られています。

ド・モルガンの法則は、否定を論理和と論理積に分配する方法を提供します。

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}$、 そして

${\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}$。

論理排他的論理和演算を表すものとします。ブール代数では、線形関数とは次のような関数です。 ${\displaystyle \oplus }$

が存在する場合、 すべての に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}$${\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}}$

これを別の方法で表現すると、各変数は常に演算の 真理値に違いをもたらすか、まったく違いをもたらさないかのどちらかになります。否定は線形論理演算子です。

ブール代数では、自己双対関数とは次のような関数です。

${\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})}$すべての に対して 。否定は自己双対論理演算子です。 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

一階述語論理には2 つの量指定子があり、1 つは全称量指定子(「すべてに対して」を意味する)、もう 1 つは存在量指定子(「存在する」を意味する) です。 一方の量指定子の否定は、もう一方の量指定子 (および) です。 たとえば、述語Pが「xは死ぬ」であり、 x の定義域がすべての人間の集合である場合、は「すべての人間の中で人 x は死ぬ」または「すべての人間は死ぬ」という意味になります。 その否定は であり、「すべての人間の中で人xは死ぬことはない」または「永遠に生きる人が存在する」という意味になります。 ${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}$${\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}$${\displaystyle \forall xP(x)}$${\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}$

否定の規則を定式化する同等の方法は多数あります。自然演繹の設定で古典的な否定を定式化する通常の方法の 1 つは、否定導入( の導出からとの両方を推論する。この規則はreductio ad absurdumとも呼ばれます)、否定消去(とから推論する。この規則はex falso quodlibetとも​​呼ばれます)、および二重否定消去( inferから) を推論の基本規則として採用することです。直観主義的否定の規則も同じ方法で得られますが、二重否定消去は除外します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg \neg P}$${\displaystyle P}$

否定導入は、 から不合理な結論を導き出せる場合、 そうではない（つまり、は偽（古典的）または反駁可能（直観的）など）と述べます。 否定消去は、何でも不合理から導かれると述べます。 否定消去は、原始的な不合理記号 を使用して定式化されることがあります。 この場合、規則は から、 は不合理に続くと述べています。 二重否定消去と合わせて、最初に定式化した規則、つまり何でも不合理から導かれると推論できます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \bot }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P}$

通常、の直観的否定は と定義されます。すると、否定の導入と除去は、含意の導入 (条件付き証明) と除去 (可能性) の特殊なケースになります。この場合、 ex falso quodlibet という基本規則も追加する必要があります。 ${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\rightarrow \bot }$

数学と同様に、否定はコンピュータ サイエンスでも論理的なステートメントを構築するために使用されます。

if ( ! ( r == t )) { /*...r が t と等しくない場合に実行されるステートメント...*/ }   

    

感嘆符" "は、 B、C 、およびC++、Java、JavaScript、Perl、PHPなどの C 風の構文を持つ言語で!は論理 NOT を表します。 " " は、 ALGOL 60、BASIC 、およびPascal、Ada、Eiffel、Seed7などの ALGOL または BASIC 風の構文を持つ言語で使用される演算子です。一部の言語 (C++、 Perl など) では、否定に複数の演算子が用意されています。PL/IやRatforなどのいくつかの言語では、否定に を使用します。最近のほとんどの言語では、上記のステートメントを から に短縮できるため、コンパイラ/インタープリタが最適化できない場合でも、プログラムが高速化されることがあります。 NOT¬if (!(r == t))if (r != t)

コンピュータ サイエンスには、ビット否定もあります。これは、指定された値を受け取り、すべての2 進数の1 を 0 に、0 を 1 に切り替えます。ビット演算を参照してください。これは、C または C++ で1 の補数(「 」) や2 の補数(数値の算術的な負の値を取ることと同じなので、「」または負の符号に簡略化されます) を作成するためによく使用されます。これは基本的に、値の反対 (負の値と同等) または数学的な補数 (両方の値を加算すると全体が作成されます) を作成するためです。 ~-

与えられた整数の絶対値（正の等価値）を取得するには、次のようにします。" -" は負から正に変換します（" x < 0" は true を返すため、負になります）。

符号なしint abs ( int x ) { if ( x < 0 ) return - x ; else return x ; }   

       
         
    
         

論理否定を示すには:

unsigned int abs ( int x ) { if ( ! ( x < 0 )) return x ; else return - x ; }   

       
         
    
         

条件を反転して結果を逆にすると、元のコードと論理的に同等のコードが生成されます。つまり、どの入力に対しても同じ結果が得られます (使用するコンパイラによっては、コンピューターによって実行される実際の命令が異なる場合があります)。

C言語（およびC言語から派生した他の言語）では、二重否定（!!x）は、x0か1のいずれかの値を持つ整数（他の値を持たない）の標準的なブール値に変換するための慣用句として使用されます。C言語では0以外の整数はすべて論理的に真であり、この点では1は特別ではありませんが、印刷する場合や、数値がその後算術演算に使用される場合など、標準的な値が使用されるようにすることが重要な場合があります。^[7]

否定を表すために を使用する慣習は、コンピュータ関連の俗語であるnot!として、通常の書き言葉にも時折現れる。例えば、 というフレーズは「投票しない」という意味である。別の例としては、 というフレーズが「no-clue」や「clueless」の同義語として使用されている。^{[8] [9]}!voting!clue

クリプキ意味論では、式の意味値は可能世界の集合であり、否定は集合論的補完性を意味すると解釈できる^[要出典]（詳細については 可能世界意味論も参照）。

• Gabbay, Dov、Wansing, Heinrich 編、1999 年。「否定とは何か?」Kluwer。
• ホーン、L.、2001年。「否定の自然史」シカゴ大学出版局。
• GH von Wright、1953–59、「否定の論理について」、Commentationes Physico-Mathematicae 22。
• Wansing, Heinrich、2001、「否定」、Goble, Lou 編、『The Blackwell Guide to Philosophical Logic』、Blackwell。
• テッタマンティ、マルコ。マネンティ、ローザ。デラ・ローザ、パスカーレ・A.ファリーニ、アンドレア。ペラーニ、ダニエラ。カッパ、ステファノ F.モロ、アンドレア (2008)。 「脳内の否定：行動表現を調節する」。ニューロイメージ。43 (2): 358–367。土井：10.1016/j.neuroimage.2008.08.004。PMID  18771737。S2CID 17658822  。

• Horn, Laurence R.; Wansing, Heinrich. 「否定」。Zalta , Edward N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。
• 「否定」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• NOT、MathWorldで

複合節の真理値表

• 「END 文に適用された NOT 節の真理値表」。2000 年 3 月 1 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「END 文の NOT 節」。2000 年 3 月 1 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「OR 文の NOT 節」。2000 年 1 月 17 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「IF...THEN 期間の NOT 句」。2000 年 3 月 1 日時点のオリジナルからアーカイブ。