ハンケル行列

線形代数において、ヘルマン・ハンケルにちなんで名付けられたハンケル行列（またはカタレクティカント行列）は、左から右への各昇順の歪対角線が定数である長方形行列である。例えば、

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

より一般的には、ハンケル行列は任意の${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$形式

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

構成要素に関して言えば、${\displaystyle i,j}$要素${\displaystyle A}$は、${\displaystyle A_{ij}}$と仮定すると${\displaystyle i\leq j}$すると、${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,jk}}$すべての人々のために${\displaystyle k=0,...,ji.}$

• 任意の正方ハンケル行列は対称行列である。
• させて${\displaystyle J_{n}}$になる${\displaystyle n\times n}$交換行列。${\displaystyle H}$は${\displaystyle m\times n}$ハンケル行列、次に${\displaystyle H=TJ_{n}}$どこ${\displaystyle T}$は${\displaystyle m\times n}$トープレッツ行列。
• もし${\displaystyle T}$真に対称であれば、${\displaystyle H=TJ_{n}}$と同じ固有値を持つ${\displaystyle T}$署名するまで。^{[ 1 ]}
• ヒルベルト行列はハンケル行列の一例である。
• ハンケル行列の行列式はカタレクティカントと呼ばれる。
• もし${\displaystyle H}$は${\displaystyle n\times n}$ハンケル行列、次に${\displaystyle H=V^{T}DV}$どこ${\displaystyle V}$は合流型ヴァンデルモンド行列であり、${\displaystyle D}$は、対称で上反三​​角形のブロックを持つブロック対角行列です^{[ 2 ]}。

形式的なローラン級数が与えられた場合$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$ 対応するハンケル演算子は^{[ 3 ]}と定義される。$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ これは多項式を取る${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$そしてそれを製品に送信する${\displaystyle fg}$しかし、${\displaystyle z}$非負の指数で、要素を与える${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$厳密に負の指数を持つ形式的冪級数。${\displaystyle H_{f}}$自然な方法で${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$-線形、および要素に関するその行列${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$そして${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$はハンケル行列です $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{-1}&a_{-2}&\ldots \\a_{-2}&a_{-3}&\ldots \\a_{-3}&a_{-4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$ 任意のハンケル行列はこのようにして生じる。クロネッカーの定理によれば、この行列のランクが有限となるのは、${\displaystyle f}$は有理関数、つまり2つの多項式の分数で ある。$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

我々はしばしば、ハンケル演算子の近似、特に低次の演算子による近似に関心を持つ。演算子の出力を近似するために、スペクトルノルム（演算子2ノルム）を用いて近似誤差を測定することができる。このことから、特異値分解が演算子の作用を近似する有効な手法となる可能性が示唆される。

行列に注意してください${\displaystyle A}$有限である必要はありません。無限の場合、個々の特異ベクトルを計算する従来の方法は直接機能しません。また、近似行列がハンケル行列である必要があり、これはAAK理論で示すことができます。

数列のハンケル行列変換、または単にハンケル変換${\displaystyle b_{k}}$は、 から形成されるハンケル行列の行列式の列です。${\displaystyle b_{k}}$整数が与えられた場合${\displaystyle n>0}$対応するものを定義する${\displaystyle (n\times n)}$次元ハンケル行列${\displaystyle B_{n}}$行列要素を持つ${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$次にシーケンス${\displaystyle h_{n}}$によって与えられた $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ は数列のハンケル変換である。${\displaystyle b_{k}.}$ハンケル変換は、数列の二項変換の下で不変です。つまり、次のように書くと、 $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ 数列の二項変換として${\displaystyle b_{n}}$すると、${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

出力データのシーケンスが与えられたときに、基となる状態空間モデルまたは隠れマルコフモデルの実現が必要な場合、ハンケル行列が形成されます。^{[ 4 ]}ハンケル行列の特異値分解は、状態空間の実現を定義する行列A、B、Cを 計算する手段を提供します。 ^{[ 5 ]}信号から形成されるハンケル行列は、非定常信号の分解と時間周波数表現に有用であることがわかっています。

• コーシー行列
• ヤコビ演算子
• トープレッツ行列は、ハンケル行列の「逆さま」（つまり、行が反転した）行列である。
• ヴァンデルモンド行列

• Brent RP (1999)、「構造化線形システムのための高速アルゴリズムの安定性」、構造を持つ行列のための高速で信頼性の高いアルゴリズム（編集者- T. Kailath、AH Sayed）、第4章（SIAM）。
• Fuhrmann, Paul A. (2012).線形代数への多項式アプローチ. Universitext (第2 版). ニューヨーク、NY: Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-0338-8 . ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl 1239.15001 . 

• Victor Y. Pan (2001).構造化行列と多項式：統一された超高速アルゴリズム. Birkhäuser . ISBN 0817642404。
• JR Partington (1988).ハンケル演算子入門. LMS 学生テキスト. 第 13巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-36791-3。