数学 において 、 三角 モーメント問題は 次のように定式化される。有限列が与えられたとき、 区間上に 次のような 分布関数 が存在するか？
{
c
0
、 … 、
c
ん
}
{\displaystyle \{c_{0},\dotsc ,c_{n}\}}
μ
{\displaystyle \mu}
[ 0 、 2 π ]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
c
け
=
1
2 π
∫
0
2 π
e
− 私 け θ
d μ （ θ ） 。
{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }\,d\mu (\theta )。 }
言い換えると、問題に対する肯定的な答えは、 が 上の 何らかの測度の 最初の n + 1 個の フーリエ係数 であることを意味します。
{
c
0
、 … 、
c
ん
}
{\displaystyle \{c_{0},\dotsc ,c_{n}\}}
μ
{\displaystyle \mu}
[ 0 、 2 π ]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
特徴づけ 三角モーメント問題は、 （ n + 1）×（ n + 1） エルミート テプリッツ 行列が
{
c
け
}
け = 0
ん
{\displaystyle \{c_{k}\}_{k=0}^{n}}
T =
（
c
0
c
1
⋯
c
ん
c
− 1
c
0
⋯
c
ん − 1
⋮
⋮
⋱
⋮
c
− ん
c
− ん + 1
⋯
c
0
）
{\displaystyle T=\left({\begin{matrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n}\\c_{-1}&c_{0}&\cdots &c_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{-n}&c_{-n+1}&\cdots &c_{0}\\\end{matrix}}\right)}
の 場合 、
c
− け
=
c
け
¯
{\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}}
け ≥ 1
{\displaystyle k\geq 1}
は半正定値で ある 。
主張の「場合のみ」の部分は直接計算によって検証できる。逆の場合の議論を概説する。半正定値行列は 上の 二乗線型 積を定義し 、その結果 ヒルベルト空間となる。
T
{\displaystyle T}
Ｃ
ん + 1
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}
（
H
、 ⟨ 、 ⟩ ）
{\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}
は最大で n + 1 次元です。 のテプリッツ構造は、 「切断された」シフトが 上の 部分等長 変換であることを意味します。より具体的には、 を の標準基底とします 。 および をそれぞれ 同値類 によって生成された部分空間 とします 。演算子を定義します。
T
{\displaystyle T}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
{
e
0
、 … 、
e
ん
}
{\displaystyle \{e_{0},\dotsc ,e_{n}\}}
Ｃ
ん + 1
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}
え
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
ふ
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
{ [
e
0
] 、 … 、 [
e
ん − 1
] }
{\displaystyle \{[e_{0}],\dotsc ,[e_{n-1}]\}}
{ [
e
1
] 、 … 、 [
e
ん
] }
{\displaystyle \{[e_{1}],\dotsc ,[e_{n}]\}}
V
:
E
→
F
{\displaystyle V:{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {F}}}
による
V
[
e
k
]
=
[
e
k
+
1
]
for
k
=
0
…
n
−
1.
{\displaystyle V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.}
以来
⟨
V
[
e
j
]
,
V
[
e
k
]
⟩
=
⟨
[
e
j
+
1
]
,
[
e
k
+
1
]
⟩
=
T
j
+
1
,
k
+
1
=
T
j
,
k
=
⟨
[
e
j
]
,
[
e
k
]
⟩
,
{\displaystyle \langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =T_{j+1,k+1}=T_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,}
V
{\displaystyle V}
は、 全体に作用する部分等長変換に拡張できる。 の 最小 ユニタリ 拡張を 、おそらくより大きな空間（これは常に存在する）上に取る。 スペクトル定理によれば、 単位円 上に ボレル測度が存在し 、任意の整数 kに対して
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
m
{\displaystyle m}
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
⟨
(
U
∗
)
k
[
e
n
+
1
]
,
[
e
n
+
1
]
⟩
=
∫
T
z
k
d
m
.
{\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbb {T} }z^{k}dm.}
の場合 、左辺は
k
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle k=0,\dotsc ,n}
⟨
(
U
∗
)
k
[
e
n
+
1
]
,
[
e
n
+
1
]
⟩
=
⟨
(
V
∗
)
k
[
e
n
+
1
]
,
[
e
n
+
1
]
⟩
=
⟨
[
e
n
+
1
−
k
]
,
[
e
n
+
1
]
⟩
=
T
n
+
1
,
n
+
1
−
k
=
c
−
k
=
c
k
¯
.
{\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle (V^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle [e_{n+1-k}],[e_{n+1}]\rangle =T_{n+1,n+1-k}=c_{-k}={\overline {c_{k}}}.}
それで
c
k
=
∫
T
z
−
k
d
m
=
∫
T
z
¯
k
d
m
{\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {T} }z^{-k}dm=\int _{\mathbb {T} }{\bar {z}}^{k}dm}
これは次の式と同等である。
c
k
=
1
2
π
∫
0
2
π
e
−
i
k
θ
d
μ
(
θ
)
{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }d\mu (\theta )}
何らかの適切な対策を講じてください 。
μ
{\displaystyle \mu }
ソリューションのパラメータ化 上の議論は、テプリッツ行列が可逆である場合、三角モーメント問題には無限の解があることを示しています。その場合、問題の解は、 部分等長変換 の最小ユニタリ拡張と全単射に対応します 。
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
参照
注記
参考文献 Akhiezer, Naum I. (1965)。 「古典モーメント問題と解析におけるいくつかの関連問題」 ニューヨーク: Hafner Publishing Co. （ロシア語からN.ケマーによる翻訳） Akhiezer, NI; Kreĭn, MG (1962)。モーメント理論に関するいくつかの問題。数学モノグラフの翻訳。アメリカ数学会 。ISBN 978-0-8218-1552-6 。 ジェロニムス、J . (1946)。「三角関数のモーメント問題について」。Annals of Mathematics。47 (4): 742–761。doi : 10.2307 /1969232。ISSN 0003-486X。JSTOR 1969232 。 Schmüdgen, Konrad (2017). モーメント問題 . 大学院数学テキスト. 第277巻. 出版社: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2 . ISSN 0072-5285. 
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle \{[e_{0}],\dotsc ,[e_{n-1}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416f5f911ed5181411381de9f0a5f8c69c8c9ad2)
![{\displaystyle \{[e_{1}],\dotsc ,[e_{n}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfd9bea2e2a7b923b81592d19bc850adabb718a)
![{\displaystyle V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456cf43acc90f6d02987661a47123ebb7160d31e)
![{\displaystyle \langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =T_{j+1 ,k+1}=T_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151268971dcfe8e370d45ac65cb88360fa2542a7)
![{\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbb {T} }z^{k }dm。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22db45b313de7b5b6df498801546804ae40eccfe)
![{\displaystyle \langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle (V^{*})^{k}[ e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle [e_{n+1-k}],[e_{n+1}]\rangle =T_{n+1,n+1-k}=c_{-k}={\overline {c_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c246ad47cfe023b126c005a61cfce0cdeda34861)
