アトキン＝レーナー理論

数学において、 アトキン＝レーナー理論はモジュラー形式の理論の一部であり、与えられた整数レベルNにおいてモジュラー形式がどのような場合に現れるかを記述することで、ヘッケ作用素の理論をより高いレベルに拡張することを可能にする。

アトキン＝レーナー理論は、与えられたレベルNにおける「新しい」尖点形式である新形式の概念に基づいている。ここで、レベルとは入れ子になった合同部分群のことである。

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$

モジュラー群のNは、割り切れる順に並べられている。つまり、MがNを割り切る場合、Γ ₀ ( N )はΓ ₀ ( M )の部分群である。Γ ₀ ( N )の古い形式は、 Nの真の約数Mを持つレベルMのモジュラー形式gの形式g ( d τ )であるレベルNのモジュラー形式f ( τ )であり、dはN/Mを割り切る。新しい形式は、古い形式によって張られる空間の補空間であるレベルNのモジュラー形式のベクトル部分空間として定義される。つまり、ペーターソン内積に関して直交する空間である。

全ての尖点形式の空間に作用するヘッケ作用素は、新形式の部分空間を保存し、この部分空間に制限すると（ペーターソン内積に関して）自己共役かつ可換な作用素となります。したがって、それらが生成する新形式上の作用素の代数は、可換な有限次元C*-代数となります。また、このような作用素のスペクトル理論により、完全なヘッケ代数の固有形式からなる新形式空間の基底が存在します。

Nのホール約数e を考えます。これは、 e がN を割り切るだけでなく、eとN / eが互いに素であることを意味します ( e || Nと表記されることが多い)。N に s 個の異なる素因数がある場合、Nのホール約数は 2 s 個あります。たとえば、^N = 360 = 2 3 ⋅3 2 ⋅5 1 の場合、 N^の8^つの^ホール約数は 1、2 ³、3 ²、5 ¹、2 ³ ⋅3 ²、2 ³ ⋅5 ¹、3 ² ⋅5 ¹、および 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ^{1 です}。

Nの各ホール因子eに対して、次の形式の整数行列W _{e を選択する。}

${\displaystyle W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}}$

det W _e = eとします。これらの行列は次の性質を持ちます。

• 要素W _{e は} Γ ₀ ( N )を正規化します。つまり、Aが Γ ₀ ( N ) に含まれる場合、W _e AW ⁻¹ _eは Γ ₀ ( N ) に含まれます。
• 行列式がe ²である行列W ² _{e は}、 Aが Γ ₀ ( N )に属する場合、 eAと書くことができます。共役によってW _{e が}Γ ₀ ( N ) に作用することによって生じる尖点形式上の演算子に興味があります。この共役の下では、スカラーeと行列Aの両方が自明に作用します。したがって、等式W ² _e = eAは、 W _eの作用が単位行列に二乗されることを意味します。このため、結果として得られる演算子はAtkin–Lehner 対合と呼ばれます。
• eとfがともにNのホール因子である場合、W _eとW _fはΓ ₀ ( N )を法として可換である。さらに、 gをホール因子g = ef /( e , f ) ²と定義すると、それらの積はΓ ₀ ( N )を法としてW _gに等しくなる。
• もしW _eの代わりに別の行列W ′ _{e を}選択していたとすると、 W _e ≡ W ′ _{e が}Γ ₀ ( N ) を法として成り立つことがわかり、W _eとW ′ _eは同じ Atkin–Lehner 対合を決定します。

これらの性質は次のようにまとめられます。 GL(2, Q ) の部分群を Γ ₀ ( N ) と行列W _eで生成したものを考えます。Γ ₀ ( N ) ^{+ を}その正のスカラー行列による商とします。すると、Γ ₀ ( N ) は指数 2 ^s ( sはNの異なる素因数の数)の Γ ₀ ( N ) ^+の正規部分群になります。商群は( Z /2 Z ) ^sと同型であり、アトキン-レーナー対合を介して尖点形式に作用します。

• モカヌ、アンドレア。（2019）。「 Γ ₁ (m)-モジュラー形式のアトキン＝レーナー理論」
• アトキン, AOL ; Lehner, J. (1970)、「Γ ₀ (m) 上の Hecke 演算子」、Mathematische Annalen、185 (2): 134–160、doi : 10.1007/BF01359701、ISSN 0025-5831、MR 0268123  
• 原田浩一郎（2010）「有限群の『ムーンシャイン』」、13ページ、欧州数学会ISBN 978-3-03719-090-6MR 2722318